解決5x/x^2-4x-21-3/x-7+4/x+3 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 5 x } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 } - \frac { 3 } { x - 7 } + \frac { 4 } { x + 3 }$$

評估

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

簡短的解題步驟

因數分解 x^{2}-4x-21。

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(x-7\right)\left(x+3\right) 和 x-7 的最小公倍式為 \left(x-7\right)\left(x+3\right)。 \frac{3}{x-7} 乘上 \frac{x+3}{x+3}。

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

因為 \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 和 \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

計算 5x-3\left(x+3\right) 的乘法。

$$\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

合併 5x-3x-9 中的同類項。

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(x-7\right)\left(x+3\right) 和 x+3 的最小公倍式為 \left(x-7\right)\left(x+3\right)。 \frac{4}{x+3} 乘上 \frac{x-7}{x-7}。

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

因為 \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 和 \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

計算 2x-9+4\left(x-7\right) 的乘法。

$$\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

合併 2x-9+4x-28 中的同類項。

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

展開 \left(x-7\right)\left(x+3\right)。

$$\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21}$$

對 x 微分

$$\frac{2\left(-3x^{2}+37x-137\right)}{\left(\left(x-7\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

使用商式導數規則的步驟

因數分解 x^{2}-4x-21。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3})$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(x-7\right)\left(x+3\right) 和 x-7 的最小公倍式為 \left(x-7\right)\left(x+3\right)。 \frac{3}{x-7} 乘上 \frac{x+3}{x+3}。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

因為 \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 和 \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

計算 5x-3\left(x+3\right) 的乘法。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

合併 5x-3x-9 中的同類項。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(x-7\right)\left(x+3\right) 和 x+3 的最小公倍式為 \left(x-7\right)\left(x+3\right)。 \frac{4}{x+3} 乘上 \frac{x-7}{x-7}。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

因為 \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 和 \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

計算 2x-9+4\left(x-7\right) 的乘法。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

合併 2x-9+4x-28 中的同類項。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

計算 x-7 乘上 x+3 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21})$$

對於任何兩個可微分的函式，兩個函式商式的導數: 分母乘上分子的導數，減掉分子乘上分母的導數，然後全部除以分母的平方。

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(6x^{1}-37)-\left(6x^{1}-37\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4x^{1}-21)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

多項式的導數是其各項導數的總和。常數項的導數為 0。ax^{n} 的導數為 nax^{n-1}。

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{1-1}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{2-1}-4x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

化簡。

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

x^{2}-4x^{1}-21 乘上 6x^{0}。

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

6x^{1}-37 乘上 2x^{1}-4x^{0}。

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}\times 2x^{1}+6x^{1}\left(-4\right)x^{0}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

計算有相同底數之乘冪數間相乘的方法: 相加其指數即可。

$$\frac{6x^{2}-4\times 6x^{1}-21\times 6x^{0}-\left(6\times 2x^{1+1}+6\left(-4\right)x^{1}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

化簡。

$$\frac{6x^{2}-24x^{1}-126x^{0}-\left(12x^{2}-24x^{1}-74x^{1}+148x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

合併同類項。

$$\frac{-6x^{2}+74x^{1}-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

任一項 t，t^{1}=t。

$$\frac{-6x^{2}+74x-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$

除了 0 以外的任意項 t，t^{0}=1。

$$\frac{-6x^{2}+74x-274}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$