解決5/x-3-x-1/x-2=7 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3.579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1.920843802$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 2,3 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-3\right)\left(x-2\right)，這是 x-3,x-2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-2 乘上 5 時使用乘法分配律。

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-3 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

若要尋找 x^{2}-4x+3 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合併 5x 和 4x 以取得 9x。

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

從 -10 減去 3 會得到 -13。

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 7 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

計算 7x-21 乘上 x-2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

從兩邊減去 7x^{2}。

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

合併 -x^{2} 和 -7x^{2} 以取得 -8x^{2}。

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

新增 35x 至兩側。

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

合併 9x 和 35x 以取得 44x。

$$44x-13-8x^{2}=42$$

從兩邊減去 42。

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

從 -13 減去 42 會得到 -55。

$$44x-55-8x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -8 代入 a，將 44 代入 b，以及將 -55 代入 c。

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

對 44 平方。

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

-4 乘上 -8。

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

32 乘上 -55。

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

將 1936 加到 -1760。

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

取 176 的平方根。

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

2 乘上 -8。

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}。 將 -44 加到 4\sqrt{11}。

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44+4\sqrt{11} 除以 -16。

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}。 從 -44 減去 4\sqrt{11}。

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44-4\sqrt{11} 除以 -16。

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 2,3 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-3\right)\left(x-2\right)，這是 x-3,x-2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-2 乘上 5 時使用乘法分配律。

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-3 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

若要尋找 x^{2}-4x+3 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合併 5x 和 4x 以取得 9x。

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

從 -10 減去 3 會得到 -13。

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 7 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

計算 7x-21 乘上 x-2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

從兩邊減去 7x^{2}。

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

合併 -x^{2} 和 -7x^{2} 以取得 -8x^{2}。

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

新增 35x 至兩側。

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

合併 9x 和 35x 以取得 44x。

$$44x-13-8x^{2}=42$$

新增 13 至兩側。

$$44x-8x^{2}=42+13$$

將 42 與 13 相加可以得到 55。

$$44x-8x^{2}=55$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-8x^{2}+44x=55$$

將兩邊同時除以 -8。

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

除以 -8 可以取消乘以 -8 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{44}{-8} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

55 除以 -8。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

將 -\frac{11}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{4}。接著，將 -\frac{11}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

-\frac{11}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

將 -\frac{55}{8} 與 \frac{121}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

將 \frac{11}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$