Solve 4x+6/12x+4=2x/6

$$\frac { 4 x + 6 } { 12 x + 4 } = \frac { 2 x } { 6 }$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3}\approx 1.602628851$$

$$x=-\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3}\approx -0.935962184$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -\frac{1}{3}，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 12\left(3x+1\right)，這是 12x+4,6 的最小公倍數。

$$3\left(4x+6\right)=\left(6x+2\right)\times 2x$$

計算 3 乘上 4x+6 時使用乘法分配律。

$$12x+18=\left(6x+2\right)\times 2x$$

計算 6x+2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$12x+18=\left(12x+4\right)x$$

計算 12x+4 乘上 x 時使用乘法分配律。

$$12x+18=12x^{2}+4x$$

從兩邊減去 12x^{2}。

$$12x+18-12x^{2}=4x$$

從兩邊減去 4x。

$$12x+18-12x^{2}-4x=0$$

合併 12x 和 -4x 以取得 8x。

$$8x+18-12x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-12x^{2}+8x+18=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -12 代入 a，將 8 代入 b，以及將 18 代入 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-12\right)\times 18}}{2\left(-12\right)}$$

對 8 平方。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-12\right)\times 18}}{2\left(-12\right)}$$

-4 乘上 -12。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+48\times 18}}{2\left(-12\right)}$$

48 乘上 18。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+864}}{2\left(-12\right)}$$

將 64 加到 864。

$$x=\frac{-8±\sqrt{928}}{2\left(-12\right)}$$

取 928 的平方根。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{58}}{2\left(-12\right)}$$

2 乘上 -12。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{58}}{-24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-8±4\sqrt{58}}{-24}。 將 -8 加到 4\sqrt{58}。

$$x=\frac{4\sqrt{58}-8}{-24}$$

-8+4\sqrt{58} 除以 -24。

$$x=-\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-8±4\sqrt{58}}{-24}。 從 -8 減去 4\sqrt{58}。

$$x=\frac{-4\sqrt{58}-8}{-24}$$

-8-4\sqrt{58} 除以 -24。

$$x=\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3} x=\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3}$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -\frac{1}{3}，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 12\left(3x+1\right)，這是 12x+4,6 的最小公倍數。

$$3\left(4x+6\right)=\left(6x+2\right)\times 2x$$

計算 3 乘上 4x+6 時使用乘法分配律。

$$12x+18=\left(6x+2\right)\times 2x$$

計算 6x+2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$12x+18=\left(12x+4\right)x$$

計算 12x+4 乘上 x 時使用乘法分配律。

$$12x+18=12x^{2}+4x$$

從兩邊減去 12x^{2}。

$$12x+18-12x^{2}=4x$$

從兩邊減去 4x。

$$12x+18-12x^{2}-4x=0$$

合併 12x 和 -4x 以取得 8x。

$$8x+18-12x^{2}=0$$

從兩邊減去 18。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$8x-12x^{2}=-18$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-12x^{2}+8x=-18$$

將兩邊同時除以 -12。

$$\frac{-12x^{2}+8x}{-12}=-\frac{18}{-12}$$

除以 -12 可以取消乘以 -12 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{8}{-12}x=-\frac{18}{-12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{8}{-12} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{18}{-12}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-18}{-12} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$$

將 -\frac{2}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{3}。接著，將 -\frac{1}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{3}{2}+\frac{1}{9}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{1}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{29}{18}$$

因數分解 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{29}{18}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{18}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{58}}{6} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{58}}{6}$$

將 \frac{1}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3} x=-\frac{\sqrt{58}}{6}+\frac{1}{3}$$