Solve 3/x+3/x-5=3x-12/x-5

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x - 5 } = \frac { 3 x - 12 } { x - 5 }$$

解 x

$$x=1$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 0,5 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 x\left(x-5\right)，這是 x,x-5 的最小公倍數。

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

計算 x-5 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

合併 3x 和 x\times 3 以取得 6x。

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

計算 x 乘上 3x-12 時使用乘法分配律。

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

從兩邊減去 3x^{2}。

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

新增 12x 至兩側。

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

合併 6x 和 12x 以取得 18x。

$$18x-15-3x^{2}=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$6x-5-x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}+6x-5=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx-5。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為正數, a 且 b 都是正數。 唯一的此類組合為系統解。

$$a=5 b=1$$

將 -x^{2}+6x-5 重寫為 \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)。

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

因式分解 -x^{2}+5x 中的 -x。

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

使用分配律來因式分解常用項 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-5=0 和 -x+1=0。

$$x=5 x=1$$

變數 x 不能等於 5。

$$x=1$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 0,5 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 x\left(x-5\right)，這是 x,x-5 的最小公倍數。

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

計算 x-5 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

合併 3x 和 x\times 3 以取得 6x。

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

計算 x 乘上 3x-12 時使用乘法分配律。

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

從兩邊減去 3x^{2}。

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

新增 12x 至兩側。

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

合併 6x 和 12x 以取得 18x。

$$18x-15-3x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-3x^{2}+18x-15=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -3 代入 a，將 18 代入 b，以及將 -15 代入 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

對 18 平方。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 乘上 -3。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+12\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 乘上 -15。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-180}}{2\left(-3\right)}$$

將 324 加到 -180。

$$x=\frac{-18±\sqrt{144}}{2\left(-3\right)}$$

取 144 的平方根。

$$x=\frac{-18±12}{2\left(-3\right)}$$

2 乘上 -3。

$$x=\frac{-18±12}{-6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-18±12}{-6}。 將 -18 加到 12。

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6 除以 -6。

$$x=1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-18±12}{-6}。 從 -18 減去 12。

$$x=-\frac{30}{-6}$$

-30 除以 -6。

$$x=5$$

現已成功解出方程式。

$$x=1 x=5$$

變數 x 不能等於 5。

$$x=1$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 0,5 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 x\left(x-5\right)，這是 x,x-5 的最小公倍數。

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

計算 x-5 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

合併 3x 和 x\times 3 以取得 6x。

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

計算 x 乘上 3x-12 時使用乘法分配律。

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

從兩邊減去 3x^{2}。

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

新增 12x 至兩側。

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

合併 6x 和 12x 以取得 18x。

$$18x-15-3x^{2}=0$$

新增 15 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$18x-3x^{2}=15$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-3x^{2}+18x=15$$

將兩邊同時除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+18x}{-3}=\frac{15}{-3}$$

除以 -3 可以取消乘以 -3 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{18}{-3}x=\frac{15}{-3}$$

18 除以 -3。

$$x^{2}-6x=\frac{15}{-3}$$

15 除以 -3。

$$x^{2}-6x=-5$$

將 -6 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -3。接著，將 -3 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

對 -3 平方。

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

將 -5 加到 9。

$$x^{2}-6x+9=4$$

因數分解 x^{2}-6x+9。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

化簡。

$$x-3=2 x-3=-2$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$x=5 x=1$$

變數 x 不能等於 5。

$$x=1$$