解決3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

解 x

$$x=3$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -6,-4,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)，這是 x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24 的最小公倍數。

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x+6 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x+4 乘上 4 時使用乘法分配律。

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

若要尋找 4x+16 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

合併 3x 和 -4x 以取得 -x。

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

從 18 減去 16 會得到 2。

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x-2 乘上 x-4 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

新增 6x 至兩側。

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

合併 -x 和 6x 以取得 5x。

$$5x+2-x^{2}=8$$

從兩邊減去 8。

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

從 2 減去 8 會得到 -6。

$$5x-6-x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}+5x-6=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx-6。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 6 的所有此類整數組合。

$$1,6 2,3$$

計算每個組合的總和。

$$1+6=7 2+3=5$$

該解的總和為 5。

$$a=3 b=2$$

將 -x^{2}+5x-6 重寫為 \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)。

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 2。

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-3。

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-3=0 並 -x+2=0。

$$x=3 x=2$$

變數 x 不能等於 2。

$$x=3$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -6,-4,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)，這是 x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24 的最小公倍數。

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x+6 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x+4 乘上 4 時使用乘法分配律。

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

若要尋找 4x+16 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

合併 3x 和 -4x 以取得 -x。

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

從 18 減去 16 會得到 2。

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x-2 乘上 x-4 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

新增 6x 至兩側。

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

合併 -x 和 6x 以取得 5x。

$$5x+2-x^{2}=8$$

從兩邊減去 8。

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

從 2 減去 8 會得到 -6。

$$5x-6-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+5x-6=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 5 代入 b，以及將 -6 代入 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

對 5 平方。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 -6。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

將 25 加到 -24。

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-5±1}{-2}。 將 -5 加到 1。

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 除以 -2。

$$x=2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-5±1}{-2}。 從 -5 減去 1。

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-6 除以 -2。

$$x=3$$

現已成功解出方程式。

$$x=2 x=3$$

變數 x 不能等於 2。

$$x=3$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -6,-4,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)，這是 x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24 的最小公倍數。

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x+6 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x+4 乘上 4 時使用乘法分配律。

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

若要尋找 4x+16 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

合併 3x 和 -4x 以取得 -x。

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

從 18 減去 16 會得到 2。

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

計算 x-2 乘上 x-4 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

新增 6x 至兩側。

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

合併 -x 和 6x 以取得 5x。

$$5x+2-x^{2}=8$$

從兩邊減去 2。

$$5x-x^{2}=8-2$$

從 8 減去 2 會得到 6。

$$5x-x^{2}=6$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+5x=6$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

5 除以 -1。

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

6 除以 -1。

$$x^{2}-5x=-6$$

將 -5 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{2}。接著，將 -\frac{5}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

將 -6 加到 \frac{25}{4}。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

因數分解 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=3 x=2$$

變數 x 不能等於 2。

$$x=3$$