解決2x/x^2-100=2/15 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

解 x

$$x=-5$$

$$x=20$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -10,10 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 15\left(x-10\right)\left(x+10\right)，這是 x^{2}-100,15 的最小公倍數。

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

將 15 乘上 2 得到 30。

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

計算 2 乘上 x-10 時使用乘法分配律。

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

計算 2x-20 乘上 x+10 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$30x=2x^{2}-200$$

從兩邊減去 2x^{2}。

$$30x-2x^{2}=-200$$

新增 200 至兩側。

$$30x-2x^{2}+200=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$15x-x^{2}+100=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}+15x+100=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx+100。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -100 的所有此類整數組合。

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

計算每個組合的總和。

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

該解為總和為 15 的組合。

$$a=20 b=-5$$

將 -x^{2}+15x+100 重寫為 \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)。

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -5 進行 -x 因式分解。

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-20。

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-20=0 和 -x-5=0。

$$x=20 x=-5$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -10,10 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 15\left(x-10\right)\left(x+10\right)，這是 x^{2}-100,15 的最小公倍數。

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

將 15 乘上 2 得到 30。

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

計算 2 乘上 x-10 時使用乘法分配律。

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

計算 2x-20 乘上 x+10 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$30x=2x^{2}-200$$

從兩邊減去 2x^{2}。

$$30x-2x^{2}=-200$$

新增 200 至兩側。

$$30x-2x^{2}+200=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -2 代入 a，將 30 代入 b，以及將 200 代入 c。

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

對 30 平方。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

-4 乘上 -2。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

8 乘上 200。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

將 900 加到 1600。

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

取 2500 的平方根。

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

2 乘上 -2。

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-30±50}{-4}。 將 -30 加到 50。

$$x=\frac{20}{-4}$$

20 除以 -4。

$$x=-5$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-30±50}{-4}。 從 -30 減去 50。

$$x=-\frac{80}{-4}$$

-80 除以 -4。

$$x=20$$

現已成功解出方程式。

$$x=-5 x=20$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -10,10 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 15\left(x-10\right)\left(x+10\right)，這是 x^{2}-100,15 的最小公倍數。

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

將 15 乘上 2 得到 30。

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

計算 2 乘上 x-10 時使用乘法分配律。

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

計算 2x-20 乘上 x+10 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$30x=2x^{2}-200$$

從兩邊減去 2x^{2}。

$$30x-2x^{2}=-200$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-2x^{2}+30x=-200$$

將兩邊同時除以 -2。

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

除以 -2 可以取消乘以 -2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

30 除以 -2。

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

-200 除以 -2。

$$x^{2}-15x=100$$

將 -15 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{15}{2}。接著，將 -\frac{15}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

-\frac{15}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

將 100 加到 \frac{225}{4}。

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

因數分解 x^{2}-15x+\frac{225}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

將 \frac{15}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=20 x=-5$$