解決2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

解 x

$$x=5$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -2,-1,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)，這是 x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4 的最小公倍數。

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x+2 乘上 x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x^{2}+3x+2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

合併 2x^{2} 和 x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

合併 6x 和 -3x 以取得 3x。

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

將 4 與 2 相加可以得到 6。

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x^{2}-1 乘上 4 時使用乘法分配律。

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

合併 3x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 -x^{2}。

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

新增 4 至兩側。

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

將 6 與 4 相加可以得到 10。

$$-x^{2}+3x+10=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx+10。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -10 的所有此類整數組合。

$$-1,10 -2,5$$

計算每個組合的總和。

$$-1+10=9 -2+5=3$$

該解的總和為 3。

$$a=5 b=-2$$

將 -x^{2}+3x+10 重寫為 \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)。

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 -2。

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-5=0 並 -x-2=0。

$$x=5 x=-2$$

變數 x 不能等於 -2。

$$x=5$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -2,-1,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)，這是 x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4 的最小公倍數。

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x+2 乘上 x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x^{2}+3x+2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

合併 2x^{2} 和 x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

合併 6x 和 -3x 以取得 3x。

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

將 4 與 2 相加可以得到 6。

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x^{2}-1 乘上 4 時使用乘法分配律。

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

合併 3x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 -x^{2}。

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

新增 4 至兩側。

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

將 6 與 4 相加可以得到 10。

$$-x^{2}+3x+10=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 3 代入 b，以及將 10 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 10。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

將 9 加到 40。

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±7}{-2}。 將 -3 加到 7。

$$x=\frac{4}{-2}$$

4 除以 -2。

$$x=-2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±7}{-2}。 從 -3 減去 7。

$$x=-\frac{10}{-2}$$

-10 除以 -2。

$$x=5$$

現已成功解出方程式。

$$x=-2 x=5$$

變數 x 不能等於 -2。

$$x=5$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -2,-1,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)，這是 x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4 的最小公倍數。

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x+2 乘上 x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x^{2}+3x+2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

合併 2x^{2} 和 x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

合併 6x 和 -3x 以取得 3x。

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

將 4 與 2 相加可以得到 6。

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

計算 x^{2}-1 乘上 4 時使用乘法分配律。

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

合併 3x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 -x^{2}。

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

從兩邊減去 6。

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

從 -4 減去 6 會得到 -10。

$$-x^{2}+3x=-10$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

3 除以 -1。

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

-10 除以 -1。

$$x^{2}-3x=10$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

將 10 加到 \frac{9}{4}。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

因數分解 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=5 x=-2$$

變數 x 不能等於 -2。

$$x=5$$