Solve 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

解 x

$$x=3$$

$$x=0$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -1,1 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-1\right)\left(x+1\right)，這是 x+1,x-1 的最小公倍數。

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

計算 x-1 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

合併 2x 和 x 以取得 3x。

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

將 -2 與 1 相加可以得到 -1。

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

請考慮 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$3x-1=x^{2}-1$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$3x-1-x^{2}=-1$$

新增 1 至兩側。

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

將 -1 與 1 相加可以得到 0。

$$3x-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+3x=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 3 代入 b，以及將 0 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

取 3^{2} 的平方根。

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±3}{-2}。 將 -3 加到 3。

$$x=\frac{0}{-2}$$

0 除以 -2。

$$x=0$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±3}{-2}。 從 -3 減去 3。

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-6 除以 -2。

$$x=3$$

現已成功解出方程式。

$$x=0 x=3$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -1,1 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-1\right)\left(x+1\right)，這是 x+1,x-1 的最小公倍數。

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

計算 x-1 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

合併 2x 和 x 以取得 3x。

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

將 -2 與 1 相加可以得到 -1。

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

請考慮 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$3x-1=x^{2}-1$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$3x-1-x^{2}=-1$$

新增 1 至兩側。

$$3x-x^{2}=-1+1$$

將 -1 與 1 相加可以得到 0。

$$3x-x^{2}=0$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+3x=0$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

3 除以 -1。

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

0 除以 -1。

$$x^{2}-3x=0$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

因數分解 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=3 x=0$$