Solve 2/1=(12+h)^2/12^2

$$\frac { 2 } { 1 } = \frac { ( 12 + h ) ^ { 2 } } { 12 ^ { 2 } }$$

解 h

$$h=12\sqrt{2}-12\approx 4.970562748$$

$$h=-12\sqrt{2}-12\approx -28.970562748$$

使用二次方程式公式的步驟

任何數字除以一結果都為其本身。

$$2=\frac{\left(12+h\right)^{2}}{12^{2}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(12+h\right)^{2}。

$$2=\frac{144+24h+h^{2}}{12^{2}}$$

計算 12 的 2 乘冪，然後得到 144。

$$2=\frac{144+24h+h^{2}}{144}$$

將 144+24h+h^{2} 的每一項除以 144 以得到 1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}。

$$2=1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}=2$$

從兩邊減去 2。

$$1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}-2=0$$

從 1 減去 2 會得到 -1。

$$-1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$\frac{1}{144}h^{2}+\frac{1}{6}h-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 \frac{1}{144} 代入 a，將 \frac{1}{6} 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-4\times \frac{1}{144}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{144}}$$

\frac{1}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\sqrt{\frac{1}{36}-4\times \frac{1}{144}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{144}}$$

-4 乘上 \frac{1}{144}。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\sqrt{\frac{1}{36}-\frac{1}{36}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{144}}$$

-\frac{1}{36} 乘上 -1。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\sqrt{\frac{1+1}{36}}}{2\times \frac{1}{144}}$$

將 \frac{1}{36} 與 \frac{1}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\sqrt{\frac{1}{18}}}{2\times \frac{1}{144}}$$

取 \frac{1}{18} 的平方根。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\frac{\sqrt{2}}{6}}{2\times \frac{1}{144}}$$

2 乘上 \frac{1}{144}。

$$h=\frac{-\frac{1}{6}±\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{1}{72}}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 h=\frac{-\frac{1}{6}±\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{1}{72}}。 將 -\frac{1}{6} 加到 \frac{\sqrt{2}}{6}。

$$h=\frac{\sqrt{2}-1}{\frac{1}{72}\times 6}$$

\frac{-1+\sqrt{2}}{6} 除以 \frac{1}{72} 的算法是將 \frac{-1+\sqrt{2}}{6} 乘以 \frac{1}{72} 的倒數。

$$h=12\sqrt{2}-12$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 h=\frac{-\frac{1}{6}±\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{1}{72}}。 從 -\frac{1}{6} 減去 \frac{\sqrt{2}}{6}。

$$h=\frac{-\sqrt{2}-1}{\frac{1}{72}\times 6}$$

\frac{-1-\sqrt{2}}{6} 除以 \frac{1}{72} 的算法是將 \frac{-1-\sqrt{2}}{6} 乘以 \frac{1}{72} 的倒數。

$$h=-12\sqrt{2}-12$$

現已成功解出方程式。

$$h=12\sqrt{2}-12 h=-12\sqrt{2}-12$$

配方法的步驟

任何數字除以一結果都為其本身。

$$2=\frac{\left(12+h\right)^{2}}{12^{2}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(12+h\right)^{2}。

$$2=\frac{144+24h+h^{2}}{12^{2}}$$

計算 12 的 2 乘冪，然後得到 144。

$$2=\frac{144+24h+h^{2}}{144}$$

將 144+24h+h^{2} 的每一項除以 144 以得到 1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}。

$$2=1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$1+\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}=2$$

從兩邊減去 1。

$$\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}=2-1$$

從 2 減去 1 會得到 1。

$$\frac{1}{6}h+\frac{1}{144}h^{2}=1$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$\frac{1}{144}h^{2}+\frac{1}{6}h=1$$

將兩邊同時乘上 144。

$$\frac{\frac{1}{144}h^{2}+\frac{1}{6}h}{\frac{1}{144}}=\frac{1}{\frac{1}{144}}$$

除以 \frac{1}{144} 可以取消乘以 \frac{1}{144} 造成的效果。

$$h^{2}+\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{144}}h=\frac{1}{\frac{1}{144}}$$

\frac{1}{6} 除以 \frac{1}{144} 的算法是將 \frac{1}{6} 乘以 \frac{1}{144} 的倒數。

$$h^{2}+24h=\frac{1}{\frac{1}{144}}$$

1 除以 \frac{1}{144} 的算法是將 1 乘以 \frac{1}{144} 的倒數。

$$h^{2}+24h=144$$

將 24 (x 項的係數) 除以 2 可得到 12。接著，將 12 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$h^{2}+24h+12^{2}=144+12^{2}$$

對 12 平方。

$$h^{2}+24h+144=144+144$$

將 144 加到 144。

$$h^{2}+24h+144=288$$

因數分解 h^{2}+24h+144。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(h+12\right)^{2}=288$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(h+12\right)^{2}}=\sqrt{288}$$

化簡。

$$h+12=12\sqrt{2} h+12=-12\sqrt{2}$$

從方程式兩邊減去 12。

$$h=12\sqrt{2}-12 h=-12\sqrt{2}-12$$