解決2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

評估

$$1-\sqrt{2}\approx -0.414213562$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{2}+2，來有理化 \frac{2}{\sqrt{2}-2} 的分母。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

請考慮 \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

對 \sqrt{2} 平方。 對 2 平方。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

從 2 減去 4 會得到 -2。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

同時消去 -2 和 -2。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{2}+1，來有理化 \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} 的分母。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

請考慮 \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

對 \sqrt{2} 平方。 對 1 平方。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

從 2 減去 1 會得到 1。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

任何項目除以一結果都為其本身。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

將 \sqrt{2}+1 乘上 \sqrt{2}+1 得到 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

因數分解 32=4^{2}\times 2。 將產品 \sqrt{4^{2}\times 2} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{4^{2}}\sqrt{2} 的乘積。 取 4^{2} 的平方根。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

將 4\sqrt{2} 除以 2 以得到 2\sqrt{2}。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

若要尋找 \sqrt{2}+2 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}。

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

將 2 與 1 相加可以得到 3。

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

合併 -\sqrt{2} 和 2\sqrt{2} 以取得 \sqrt{2}。

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

合併 \sqrt{2} 和 -2\sqrt{2} 以取得 -\sqrt{2}。

$$-\sqrt{2}+1$$

因式分解

$$1-\sqrt{2}$$