解決frac{2sqrt{5}+5}{2sqrt{5}-5} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 \sqrt { 5 } + 5 } { 2 \sqrt { 5 } - 5 }$$

評估

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17.94427191$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 2\sqrt{5}+5，來有理化 \frac{2\sqrt{5}+5}{2\sqrt{5}-5} 的分母。

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}$$

請考慮 \left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

將 2\sqrt{5}+5 乘上 2\sqrt{5}+5 得到 \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}。

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}。

$$\frac{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{4\times 5+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

將 4 乘上 5 得到 20。

$$\frac{20+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

將 20 與 25 相加可以得到 45。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

展開 \left(2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\times 5-5^{2}}$$

將 4 乘上 5 得到 20。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-5^{2}}$$

計算 5 的 2 乘冪，然後得到 25。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-25}$$

從 20 減去 25 會得到 -5。

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{-5}$$

將 45+20\sqrt{5} 的每一項除以 -5 以得到 -9-4\sqrt{5}。

$$-9-4\sqrt{5}$$

因式分解

$$-\left(4\sqrt{5}+9\right)$$