解決frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

評估

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17.94427191$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 2+\sqrt{5}，來有理化 \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} 的分母。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

請考慮 \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

對 2 平方。 對 \sqrt{5} 平方。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

從 4 減去 5 會得到 -1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

將 2+\sqrt{5} 乘上 2+\sqrt{5} 得到 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

將 4 與 5 相加可以得到 9。

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

任何數字除以 -1 都會得到該數字的負數。 若要尋找 9+4\sqrt{5} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-9-4\sqrt{5}$$