解決frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

解 b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

解線性方程式的步驟

將分子和分母同時乘以 2+\sqrt{3}，來有理化 \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} 的分母。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

請考慮 \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

對 2 平方。 對 \sqrt{3} 平方。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

從 4 減去 3 會得到 1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

任何項目除以一結果都為其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

將 2+\sqrt{3} 乘上 2+\sqrt{3} 得到 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

將 4 與 3 相加可以得到 7。

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

從兩邊減去 a。

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

方程式為標準式。

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

將兩邊同時除以 \sqrt{3}。

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

除以 \sqrt{3} 可以取消乘以 \sqrt{3} 造成的效果。

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

4\sqrt{3}-a+7 除以 \sqrt{3}。

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

解 a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$