解決1500/x-1500/x+250=1/2 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

解 x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -250,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 2x\left(x+250\right)，這是 x,x+250,2 的最小公倍數。

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

計算 2x+500 乘上 1500 時使用乘法分配律。

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

將 2 乘上 1500 得到 3000。

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

計算 x 乘上 x+250 時使用乘法分配律。

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

從兩邊減去 250x。

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

合併 3000x 和 -250x 以取得 2750x。

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

合併 2750x 和 -3000x 以取得 -250x。

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx+750000。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -750000 的所有此類整數組合。

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

計算每個組合的總和。

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

該解的總和為 250。

$$a=-750 b=1000$$

將 -x^{2}-250x+750000 重寫為 \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)。

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 1000。

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-750。

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-750=0 並 x+1000=0。

$$x=750 x=-1000$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -250,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 2x\left(x+250\right)，這是 x,x+250,2 的最小公倍數。

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

計算 2x+500 乘上 1500 時使用乘法分配律。

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

將 2 乘上 1500 得到 3000。

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

計算 x 乘上 x+250 時使用乘法分配律。

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

從兩邊減去 250x。

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

合併 3000x 和 -250x 以取得 2750x。

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

合併 2750x 和 -3000x 以取得 -250x。

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 -250 代入 b，以及將 750000 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

對 -250 平方。

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 750000。

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

將 62500 加到 3000000。

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

取 3062500 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

-250 的相反數是 250。

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{250±1750}{-2}。 將 250 加到 1750。

$$x=\frac{2000}{-2}$$

2000 除以 -2。

$$x=-1000$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{250±1750}{-2}。 從 250 減去 1750。

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

-1500 除以 -2。

$$x=750$$

現已成功解出方程式。

$$x=-1000 x=750$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -250,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 2x\left(x+250\right)，這是 x,x+250,2 的最小公倍數。

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

計算 2x+500 乘上 1500 時使用乘法分配律。

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

將 2 乘上 1500 得到 3000。

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

計算 x 乘上 x+250 時使用乘法分配律。

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

從兩邊減去 250x。

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

合併 3000x 和 -250x 以取得 2750x。

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

從兩邊減去 750000。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

合併 2750x 和 -3000x 以取得 -250x。

$$-250x-x^{2}=-750000$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}-250x=-750000$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

-250 除以 -1。

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

-750000 除以 -1。

$$x^{2}+250x=750000$$

將 250 (x 項的係數) 除以 2 可得到 125。接著，將 125 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

對 125 平方。

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

將 750000 加到 15625。

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

因數分解 x^{2}+250x+15625。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

化簡。

$$x+125=875 x+125=-875$$

從方程式兩邊減去 125。

$$x=750 x=-1000$$