Solve 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

解 p

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0.8+2.315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0.8-2.315167381i$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 p 不能等於 -2,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 p\left(p+2\right)，這是 p,p+2 的最小公倍數。

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

計算 p+2 乘上 15 時使用乘法分配律。

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

計算 p 乘上 6p-5 時使用乘法分配律。

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

合併 15p 和 -5p 以取得 10p。

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

計算 p 乘上 p+2 時使用乘法分配律。

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

從兩邊減去 p^{2}。

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

合併 6p^{2} 和 -p^{2} 以取得 5p^{2}。

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

從兩邊減去 2p。

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

合併 10p 和 -2p 以取得 8p。

$$8p+30+5p^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$5p^{2}+8p+30=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 5 代入 a，將 8 代入 b，以及將 30 代入 c。

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

對 8 平方。

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

-4 乘上 5。

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

-20 乘上 30。

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

將 64 加到 -600。

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

取 -536 的平方根。

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

2 乘上 5。

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}。 將 -8 加到 2i\sqrt{134}。

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

-8+2i\sqrt{134} 除以 10。

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}。 從 -8 減去 2i\sqrt{134}。

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

-8-2i\sqrt{134} 除以 10。

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

配方法的步驟

變數 p 不能等於 -2,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 p\left(p+2\right)，這是 p,p+2 的最小公倍數。

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

計算 p+2 乘上 15 時使用乘法分配律。

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

計算 p 乘上 6p-5 時使用乘法分配律。

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

合併 15p 和 -5p 以取得 10p。

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

計算 p 乘上 p+2 時使用乘法分配律。

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

從兩邊減去 p^{2}。

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

合併 6p^{2} 和 -p^{2} 以取得 5p^{2}。

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

從兩邊減去 2p。

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

合併 10p 和 -2p 以取得 8p。

$$8p+30+5p^{2}=0$$

從兩邊減去 30。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$8p+5p^{2}=-30$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$5p^{2}+8p=-30$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

-30 除以 5。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

將 \frac{8}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{4}{5}。接著，將 \frac{4}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

\frac{4}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

將 -6 加到 \frac{16}{25}。

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

因數分解 p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

化簡。

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{5}。

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$