解決1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

解 x

$$x=-1$$

解題步驟

變數 x 不能等於 -8,-5,-2,1 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)，這是 x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21 的最小公倍數。

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 21 乘上 x+5 時使用乘法分配律。

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 21x+105 乘上 x+8 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 21 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 21x-21 乘上 x+8 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合併 21x^{2} 和 21x^{2} 以取得 42x^{2}。

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合併 273x 和 147x 以取得 420x。

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

從 840 減去 168 會得到 672。

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 21 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 21x+42 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合併 42x^{2} 和 21x^{2} 以取得 63x^{2}。

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

合併 420x 和 21x 以取得 441x。

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

從 672 減去 42 會得到 630。

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 7 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 7x+14 乘上 x+5 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

計算 7x^{2}+49x+70 乘上 x+8 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

將 21 乘上 -\frac{1}{21} 得到 -1。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

計算 -1 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

計算 -x+1 乘上 x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

計算 -x^{2}-x+2 乘上 x+5 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

計算 -x^{3}-6x^{2}-3x+10 乘上 x+8 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

合併 7x^{3} 和 -14x^{3} 以取得 -7x^{3}。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

合併 105x^{2} 和 -51x^{2} 以取得 54x^{2}。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

合併 462x 和 -14x 以取得 448x。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

將 560 與 80 相加可以得到 640。

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

新增 7x^{3} 至兩側。

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

從兩邊減去 54x^{2}。

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

合併 63x^{2} 和 -54x^{2} 以取得 9x^{2}。

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

從兩邊減去 448x。

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

合併 441x 和 -448x 以取得 -7x。

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

從兩邊減去 640。

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

從 630 減去 640 會得到 -10。

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

新增 x^{4} 至兩側。

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

重新排列方程式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -10，而 q 除以前置係數 1。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±10,±5,±2,±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=1$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 除以 x-1 以得到 x^{3}+8x^{2}+17x+10。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 10，而 q 除以前置係數 1。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±10,±5,±2,±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-1$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 x^{3}+8x^{2}+17x+10 除以 x+1 以得到 x^{2}+7x+10。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$x^{2}+7x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 1 取代 a、以 7 取代 b 並以 10 取 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

計算。

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 x^{2}+7x+10=0。

$$x=-5 x=-2$$

移除變數不可以是相等的值。

$$x=-1$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

變數 x 不能等於 1,-5,-2 中的任何值。

$$x=-1$$