解決1/x+40+1/x=1/48 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

解 x

$$x=-24$$

$$x=80$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -40,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 48x\left(x+40\right)，這是 x+40,x,48 的最小公倍數。

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

合併 48x 和 48x 以取得 96x。

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

計算 x 乘上 x+40 時使用乘法分配律。

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

從兩邊減去 40x。

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

合併 96x 和 -40x 以取得 56x。

$$56x+1920-x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx+1920。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -1920 的所有此類整數組合。

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

計算每個組合的總和。

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

該解的總和為 56。

$$a=80 b=-24$$

將 -x^{2}+56x+1920 重寫為 \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)。

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 -24。

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-80。

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-80=0 並 -x-24=0。

$$x=80 x=-24$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -40,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 48x\left(x+40\right)，這是 x+40,x,48 的最小公倍數。

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

合併 48x 和 48x 以取得 96x。

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

計算 x 乘上 x+40 時使用乘法分配律。

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

從兩邊減去 40x。

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

合併 96x 和 -40x 以取得 56x。

$$56x+1920-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 56 代入 b，以及將 1920 代入 c。

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

對 56 平方。

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 1920。

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

將 3136 加到 7680。

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

取 10816 的平方根。

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-56±104}{-2}。 將 -56 加到 104。

$$x=\frac{48}{-2}$$

48 除以 -2。

$$x=-24$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-56±104}{-2}。 從 -56 減去 104。

$$x=-\frac{160}{-2}$$

-160 除以 -2。

$$x=80$$

現已成功解出方程式。

$$x=-24 x=80$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -40,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 48x\left(x+40\right)，這是 x+40,x,48 的最小公倍數。

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

合併 48x 和 48x 以取得 96x。

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

計算 x 乘上 x+40 時使用乘法分配律。

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

從兩邊減去 40x。

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

合併 96x 和 -40x 以取得 56x。

$$56x+1920-x^{2}=0$$

從兩邊減去 1920。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$56x-x^{2}=-1920$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+56x=-1920$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

56 除以 -1。

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

-1920 除以 -1。

$$x^{2}-56x=1920$$

將 -56 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -28。接著，將 -28 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

對 -28 平方。

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

將 1920 加到 784。

$$x^{2}-56x+784=2704$$

因數分解 x^{2}-56x+784。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

化簡。

$$x-28=52 x-28=-52$$

將 28 加到方程式的兩邊。

$$x=80 x=-24$$