解決1/3x^2+4/5x=1 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0.907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3.307130751$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

從方程式兩邊減去 1。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 \frac{1}{3} 代入 a，將 \frac{4}{5} 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

\frac{4}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

-4 乘上 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

-\frac{4}{3} 乘上 -1。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

將 \frac{16}{25} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

取 \frac{148}{75} 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

2 乘上 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}。 將 -\frac{4}{5} 加到 \frac{2\sqrt{111}}{15}。

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} 除以 \frac{2}{3} 的算法是將 -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} 乘以 \frac{2}{3} 的倒數。

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}。 從 -\frac{4}{5} 減去 \frac{2\sqrt{111}}{15}。

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

-\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} 除以 \frac{2}{3} 的算法是將 -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} 乘以 \frac{2}{3} 的倒數。

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

將兩邊同時乘上 3。

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

除以 \frac{1}{3} 可以取消乘以 \frac{1}{3} 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{4}{5} 除以 \frac{1}{3} 的算法是將 \frac{4}{5} 乘以 \frac{1}{3} 的倒數。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

1 除以 \frac{1}{3} 的算法是將 1 乘以 \frac{1}{3} 的倒數。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

將 \frac{12}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{6}{5}。接著，將 \frac{6}{5} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

\frac{6}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

將 3 加到 \frac{36}{25}。

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

因數分解 x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

化簡。

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

從方程式兩邊減去 \frac{6}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$