解決(x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4 |Microsoft數學求解器

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3.862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2.362474899$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -\frac{1}{2},\frac{1}{2} 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)，這是 1-4x^{2},4 的最小公倍數。

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -4 乘上 x+3 時使用乘法分配律。

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -4x-12 乘上 6-x 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -1 乘上 2x-1 時使用乘法分配律。

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -2x+1 乘上 2x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

新增 4x^{2} 至兩側。

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

合併 4x^{2} 和 4x^{2} 以取得 8x^{2}。

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

從兩邊減去 1。

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

從 -72 減去 1 會得到 -73。

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$8x^{2}-12x-73=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 8 代入 a，將 -12 代入 b，以及將 -73 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

對 -12 平方。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

-4 乘上 8。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

-32 乘上 -73。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

將 144 加到 2336。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

取 2480 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

-12 的相反數是 12。

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

2 乘上 8。

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}。 將 12 加到 4\sqrt{155}。

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

12+4\sqrt{155} 除以 16。

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}。 從 12 減去 4\sqrt{155}。

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

12-4\sqrt{155} 除以 16。

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -\frac{1}{2},\frac{1}{2} 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)，這是 1-4x^{2},4 的最小公倍數。

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -4 乘上 x+3 時使用乘法分配律。

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -4x-12 乘上 6-x 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -1 乘上 2x-1 時使用乘法分配律。

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

計算 -2x+1 乘上 2x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

新增 4x^{2} 至兩側。

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

合併 4x^{2} 和 4x^{2} 以取得 8x^{2}。

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

新增 72 至兩側。

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

將 1 與 72 相加可以得到 73。

$$-12x+8x^{2}=73$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$8x^{2}-12x=73$$

將兩邊同時除以 8。

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

除以 8 可以取消乘以 8 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-12}{8} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

將 -\frac{3}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{4}。接著，將 -\frac{3}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

將 \frac{73}{8} 與 \frac{9}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

將 \frac{3}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$