解決frac{sqrt{7}+sqrt{5}}{sqrt{7}-sqrt{5}}+frac{sqrt{7}-sqrt{5}}{sqrt{7}+sqrt{5}}= |Microsoft數學求解器

$$\frac { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } + \frac { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } =$$

評估

$$12$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{7}+\sqrt{5}，來有理化 \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} 的分母。

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

請考慮 \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

對 \sqrt{7} 平方。 對 \sqrt{5} 平方。

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

從 7 減去 5 會得到 2。

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

將 \sqrt{7}+\sqrt{5} 乘上 \sqrt{7}+\sqrt{5} 得到 \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{7+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

若要將 \sqrt{7} 與 \sqrt{5} 相乘，請乘平方根下方的數位。

$$\frac{7+2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{7+2\sqrt{35}+5}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

將 7 與 5 相加可以得到 12。

$$\frac{12+2\sqrt{35}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

將 12+2\sqrt{35} 的每一項除以 2 以得到 6+\sqrt{35}。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{7}-\sqrt{5}，來有理化 \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} 的分母。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}$$

請考慮 \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

對 \sqrt{7} 平方。 對 \sqrt{5} 平方。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}$$

從 7 減去 5 會得到 2。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{2}$$

將 \sqrt{7}-\sqrt{5} 乘上 \sqrt{7}-\sqrt{5} 得到 \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

若要將 \sqrt{7} 與 \sqrt{5} 相乘，請乘平方根下方的數位。

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+5}{2}$$

將 7 與 5 相加可以得到 12。

$$6+\sqrt{35}+\frac{12-2\sqrt{35}}{2}$$

將 12-2\sqrt{35} 的每一項除以 2 以得到 6-\sqrt{35}。

$$6+\sqrt{35}+6-\sqrt{35}$$

將 6 與 6 相加可以得到 12。

$$12+\sqrt{35}-\sqrt{35}$$

合併 \sqrt{35} 和 -\sqrt{35} 以取得 0。

$$12$$

因式分解

$$2^{2}\times 3$$