解決frac{sqrt{3}-sqrt{7}}{sqrt{3}+sqrt{7}} |Microsoft數學求解器

$$\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 7 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } }$$

評估

$$\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0.208712153$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}-\sqrt{7}，來有理化 \frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} 的分母。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}$$

請考慮 \left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

對 \sqrt{3} 平方。 對 \sqrt{7} 平方。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{3-7}$$

從 3 減去 7 會得到 -4。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{-4}$$

將 \sqrt{3}-\sqrt{7} 乘上 \sqrt{3}-\sqrt{7} 得到 \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

若要將 \sqrt{3} 與 \sqrt{7} 相乘，請乘平方根下方的數位。

$$\frac{3-2\sqrt{21}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{3-2\sqrt{21}+7}{-4}$$

將 3 與 7 相加可以得到 10。

$$\frac{10-2\sqrt{21}}{-4}$$