解決frac{sqrt{12}+sqrt{6}+sqrt{2}+2}{sqrt{3}+1} |Microsoft數學求解器

$$\frac { \sqrt { 12 } + \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } + 2 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

評估

$$\sqrt{2}+2\approx 3.414213562$$

解題步驟

因數分解 12=2^{2}\times 3。 將產品 \sqrt{2^{2}\times 3} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{3} 的乘積。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}-1，來有理化 \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1} 的分母。

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

請考慮 \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

對 \sqrt{3} 平方。 對 1 平方。

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

從 3 減去 1 會得到 2。

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

透過將 2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2 的每個項乘以 \sqrt{3}-1 的每個項以套用乘法分配律。

$$\frac{2\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{2\times 3-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

將 2 乘上 3 得到 6。

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

因數分解 6=3\times 2。 將產品 \sqrt{3\times 2} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{3}\sqrt{2} 的乘積。

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

將 \sqrt{3} 乘上 \sqrt{3} 得到 3。

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

若要將 \sqrt{2} 和 \sqrt{3} 相乘，請將數位乘在平方根之下。

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

合併 -\sqrt{6} 和 \sqrt{6} 以取得 0。

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

合併 3\sqrt{2} 和 -\sqrt{2} 以取得 2\sqrt{2}。

$$\frac{6-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

合併 -2\sqrt{3} 和 2\sqrt{3} 以取得 0。

$$\frac{6+2\sqrt{2}-2}{2}$$

從 6 減去 2 會得到 4。

$$\frac{4+2\sqrt{2}}{2}$$

將 4+2\sqrt{2} 的每一項除以 2 以得到 2+\sqrt{2}。

$$2+\sqrt{2}$$