Giải y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Tìm y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Trừ 2x khỏi cả hai vế.

$$y-2x=1$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm y bằng cách đặt riêng y sang vế trái của dấu bằng.

$$y-2x=1$$

Cộng 2x vào cả hai vế của phương trình.

$$y=2x+1$$

Thế 2x+1 vào y trong phương trình còn lại, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Cộng 2x vào x.

$$3x+1=7$$

Trừ 1 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$3x=6$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$x=2$$

Thế 2 vào x trong y=2x+1. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm y trực tiếp.

$$y=2\times 2+1$$

Nhân 2 với 2.

$$y=4+1$$

Cộng 1 vào 4.

$$y=5$$

Hệ đã được giải.

$$y=5,x=2$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Trừ 2x khỏi cả hai vế.

$$y-2x=1$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận y và x.

$$y=5,x=2$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Trừ 2x khỏi cả hai vế.

$$y-2x=1$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Trừ y+x=7 khỏi y-2x=1 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Cộng y vào -y. Số hạng y và -y triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$-2x-x=1-7$$

Cộng -2x vào -x.

$$-3x=1-7$$

Cộng 1 vào -7.

$$-3x=-6$$

Chia cả hai vế cho -3.

$$x=2$$

Thế 2 vào x trong y+x=7. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm y trực tiếp.

$$y+2=7$$

Trừ 2 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$y=5$$

Hệ đã được giải.

$$y=5,x=2$$