Giải 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Tìm n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Các bước sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số bằng cách nhóm

Trừ 3n^{2} khỏi cả hai vế.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kết hợp 9n^{2} và -3n^{2} để có được 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là 6n^{2}+an+bn+20. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -23.

$$a=-15 b=-8$$

Viết lại 6n^{2}-23n+20 dưới dạng \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Phân tích 3n trong đầu tiên và -4 trong nhóm thứ hai.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Phân tích số hạng chung 2n-5 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết 2n-5=0 và 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Các bước Sử dụng Công thức Bậc hai

Trừ 3n^{2} khỏi cả hai vế.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kết hợp 9n^{2} và -3n^{2} để có được 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế 6 vào a, -23 vào b và 20 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Bình phương -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Nhân -4 với 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Nhân -24 với 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Cộng 529 vào -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Lấy căn bậc hai của 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Số đối của số -23 là 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Nhân 2 với 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Bây giờ, giải phương trình n=\frac{23±7}{12} khi ± là số dương. Cộng 23 vào 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Rút gọn phân số \frac{30}{12} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Bây giờ, giải phương trình n=\frac{23±7}{12} khi ± là số âm. Trừ 7 khỏi 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Rút gọn phân số \frac{16}{12} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Các bước để Bù Bình phương

Trừ 3n^{2} khỏi cả hai vế.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kết hợp 9n^{2} và -3n^{2} để có được 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Trừ 20 khỏi cả hai vế. Số không trừ đi bất kỳ giá trị nào cũng bằng số âm của giá trị đó.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Chia cả hai vế cho 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Việc chia cho 6 sẽ làm mất phép nhân với 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Rút gọn phân số \frac{-20}{6} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Chia -\frac{23}{6}, hệ số của số hạng x, cho 2 để có kết quả -\frac{23}{12}. Sau đó, cộng bình phương của -\frac{23}{12} vào cả hai vế của phương trình. Bước này làm cho vế trái của phương trình thành số chính phương.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Bình phương -\frac{23}{12} bằng cách bình phương cả tử số và mẫu số của phân số.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Cộng -\frac{10}{3} với \frac{529}{144} bằng cách tìm một mẫu số chung, rồi cộng các tử số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Phân tích n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} số. Nói chung, khi x^{2}+bx+c là hình vuông hoàn hảo, nó luôn có thể được phân tích thành thừa số \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Rút gọn.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Cộng \frac{23}{12} vào cả hai vế của phương trình.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$