Giải 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Tìm x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$3x-5y=4$$

Cộng 5y vào cả hai vế của phương trình.

$$3x=5y+4$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Nhân \frac{1}{3} với 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Thế \frac{5y+4}{3} vào x trong phương trình còn lại, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Nhân 9 với \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Cộng 15y vào -2y.

$$13y+12=7$$

Trừ 12 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$13y=-5$$

Chia cả hai vế cho 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Thế -\frac{5}{13} vào y trong x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Nhân \frac{5}{3} với -\frac{5}{13} bằng cách nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Cộng \frac{4}{3} với -\frac{25}{39} bằng cách tìm một mẫu số chung, rồi cộng các tử số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$x=\frac{9}{13}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Để cân bằng 3x và 9x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 9 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Rút gọn.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Trừ 27x-6y=21 khỏi 27x-45y=36 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Cộng 27x vào -27x. Số hạng 27x và -27x triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$-45y+6y=36-21$$

Cộng -45y vào 6y.

$$-39y=36-21$$

Cộng 36 vào -21.

$$-39y=15$$

Chia cả hai vế cho -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Thế -\frac{5}{13} vào y trong 9x-2y=7. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Nhân -2 với -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Trừ \frac{10}{13} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Chia cả hai vế cho 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$