Giải 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Tìm n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Các bước sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số bằng cách nhóm

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là 3n^{2}+an+bn-15. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Vì ab là âm, a và b có dấu đối diện. Vì a+b là âm, số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn so với Dương. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -4.

$$a=-9 b=5$$

Viết lại 3n^{2}-4n-15 dưới dạng \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Phân tích 3n trong đầu tiên và 5 trong nhóm thứ hai.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Phân tích số hạng chung n-3 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết n-3=0 và 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Các bước Sử dụng Công thức Bậc hai

Có thể giải tất cả các phương trình dạng ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Công thức bậc hai cho ra hai nghiệm, một nghiệm khi ± mang dấu cộng và một nghiệm khi mang dấu trừ.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế 3 vào a, -4 vào b và -15 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Bình phương -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Nhân -4 với 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Nhân -12 với -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Cộng 16 vào 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Lấy căn bậc hai của 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Số đối của số -4 là 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Nhân 2 với 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Bây giờ, giải phương trình n=\frac{4±14}{6} khi ± là số dương. Cộng 4 vào 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Chia 18 cho 6.

$$n=3$$

Bây giờ, giải phương trình n=\frac{4±14}{6} khi ± là số âm. Trừ 14 khỏi 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Rút gọn phân số \frac{-10}{6} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Các bước để Bù Bình phương

Có thể giải phương trình bậc hai như phương trình này bằng cách bù bình phương. Để thực hiện bù bình phương, trước hết, phương trình phải có dạng x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Cộng 15 vào cả hai vế của phương trình.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Trừ -15 cho chính nó ta có 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Trừ -15 khỏi 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Việc chia cho 3 sẽ làm mất phép nhân với 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Chia 15 cho 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Chia -\frac{4}{3}, hệ số của số hạng x, cho 2 để có kết quả -\frac{2}{3}. Sau đó, cộng bình phương của -\frac{2}{3} vào cả hai vế của phương trình. Bước này làm cho vế trái của phương trình thành số chính phương.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bình phương -\frac{2}{3} bằng cách bình phương cả tử số và mẫu số của phân số.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Cộng 5 vào \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Phân tích n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} số. Nói chung, khi x^{2}+bx+c là hình vuông hoàn hảo, nó luôn có thể được phân tích thành thừa số \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Rút gọn.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Cộng \frac{2}{3} vào cả hai vế của phương trình.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$