Giải 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Phân tích thành thừa số

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Các bước tìm nghiệm

Để phân tích biểu thức thành thừa số, hãy giải phương trình khi biểu thức bằng 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi -40 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 3 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=-2$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 cho x+2 ta có 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Để phân tích kết quả thành thừa số, hãy giải phương trình khi biểu thức bằng 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi -20 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 3 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=\frac{5}{3}$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 cho 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 ta có x^{2}+4. Để phân tích kết quả thành thừa số, hãy giải phương trình khi biểu thức bằng 0.

$$x^{2}+4=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 1 cho a, 0 cho b và 4 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Không phân tích được đa thức x^{2}+4 thành thừa số vì đa thức không có bất kỳ nghiệm hữu tỉ nào.

$$x^{2}+4$$

Viết lại biểu thức đã được phân tích thành thừa số sử dụng các nghiệm tìm được.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Tính giá trị

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$