Giải 27left(2x-1right)^3+2=66

$$27 { \left(2x-1 \right) }^{ 3 } +2=66$$

Tìm x (complex solution)

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1,166666667$$

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}\approx 0,166666667+0,577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}\approx 0,166666667-0,577350269i$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} để bung rộng \left(2x-1\right)^{3}.

$$27\left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right)+2=66$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 27 với 8x^{3}-12x^{2}+6x-1.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-27+2=66$$

Cộng -27 với 2 để có được -25.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25=66$$

Trừ 66 khỏi cả hai vế.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25-66=0$$

Lấy -25 trừ 66 để có được -91.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-91=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi -91 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 216 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±\frac{91}{216},±\frac{91}{108},±\frac{91}{72},±\frac{91}{54},±\frac{91}{36},±\frac{91}{27},±\frac{91}{24},±\frac{91}{18},±\frac{91}{12},±\frac{91}{9},±\frac{91}{8},±\frac{91}{6},±\frac{91}{4},±\frac{91}{3},±\frac{91}{2},±91,±\frac{13}{216},±\frac{13}{108},±\frac{13}{72},±\frac{13}{54},±\frac{13}{36},±\frac{13}{27},±\frac{13}{24},±\frac{13}{18},±\frac{13}{12},±\frac{13}{9},±\frac{13}{8},±\frac{13}{6},±\frac{13}{4},±\frac{13}{3},±\frac{13}{2},±13,±\frac{7}{216},±\frac{7}{108},±\frac{7}{72},±\frac{7}{54},±\frac{7}{36},±\frac{7}{27},±\frac{7}{24},±\frac{7}{18},±\frac{7}{12},±\frac{7}{9},±\frac{7}{8},±\frac{7}{6},±\frac{7}{4},±\frac{7}{3},±\frac{7}{2},±7,±\frac{1}{216},±\frac{1}{108},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{36},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=\frac{7}{6}$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 216x^{3}-324x^{2}+162x-91 cho 6\left(x-\frac{7}{6}\right)=6x-7 ta có 36x^{2}-12x+13. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$36x^{2}-12x+13=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 36 cho a, -12 cho b và 13 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 36\times 13}}{2\times 36}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{12±\sqrt{-1728}}{72}$$

Giải phương trình 36x^{2}-12x+13=0 khi ± là cộng và khi ± là trừ.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6} x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}$$

Liệt kê tất cả đáp án tìm được.

$$x=\frac{7}{6} x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6} x=\frac{\sqrt{3}i}{3}+\frac{1}{6}$$

Tìm x

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1,166666667$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} để bung rộng \left(2x-1\right)^{3}.

$$27\left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right)+2=66$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 27 với 8x^{3}-12x^{2}+6x-1.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-27+2=66$$

Cộng -27 với 2 để có được -25.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25=66$$

Trừ 66 khỏi cả hai vế.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-25-66=0$$

Lấy -25 trừ 66 để có được -91.

$$216x^{3}-324x^{2}+162x-91=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi -91 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 216 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±\frac{91}{216},±\frac{91}{108},±\frac{91}{72},±\frac{91}{54},±\frac{91}{36},±\frac{91}{27},±\frac{91}{24},±\frac{91}{18},±\frac{91}{12},±\frac{91}{9},±\frac{91}{8},±\frac{91}{6},±\frac{91}{4},±\frac{91}{3},±\frac{91}{2},±91,±\frac{13}{216},±\frac{13}{108},±\frac{13}{72},±\frac{13}{54},±\frac{13}{36},±\frac{13}{27},±\frac{13}{24},±\frac{13}{18},±\frac{13}{12},±\frac{13}{9},±\frac{13}{8},±\frac{13}{6},±\frac{13}{4},±\frac{13}{3},±\frac{13}{2},±13,±\frac{7}{216},±\frac{7}{108},±\frac{7}{72},±\frac{7}{54},±\frac{7}{36},±\frac{7}{27},±\frac{7}{24},±\frac{7}{18},±\frac{7}{12},±\frac{7}{9},±\frac{7}{8},±\frac{7}{6},±\frac{7}{4},±\frac{7}{3},±\frac{7}{2},±7,±\frac{1}{216},±\frac{1}{108},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{36},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=\frac{7}{6}$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 216x^{3}-324x^{2}+162x-91 cho 6\left(x-\frac{7}{6}\right)=6x-7 ta có 36x^{2}-12x+13. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$36x^{2}-12x+13=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 36 cho a, -12 cho b và 13 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 36\times 13}}{2\times 36}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{12±\sqrt{-1728}}{72}$$

Do không thể xác định căn bậc hai của số âm trong trường số thực nên không có nghiệm nào.

$$x\in \emptyset$$

Liệt kê tất cả đáp án tìm được.

$$x=\frac{7}{6}$$