Giải 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Tìm x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Các bước sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số bằng cách nhóm

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là 24x^{2}+ax+bx+21. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -65.

$$a=-56 b=-9$$

Viết lại 24x^{2}-65x+21 dưới dạng \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Phân tích 8x trong đầu tiên và -3 trong nhóm thứ hai.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Phân tích số hạng chung 3x-7 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết 3x-7=0 và 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Các bước Sử dụng Công thức Bậc hai

Có thể giải tất cả các phương trình dạng ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Công thức bậc hai cho ra hai nghiệm, một nghiệm khi ± mang dấu cộng và một nghiệm khi mang dấu trừ.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế 24 vào a, -65 vào b và 21 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Bình phương -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Nhân -4 với 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Nhân -96 với 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Cộng 4225 vào -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Lấy căn bậc hai của 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Số đối của số -65 là 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Nhân 2 với 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{65±47}{48} khi ± là số dương. Cộng 65 vào 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Rút gọn phân số \frac{112}{48} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{65±47}{48} khi ± là số âm. Trừ 47 khỏi 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Rút gọn phân số \frac{18}{48} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Các bước để Bù Bình phương

Có thể giải phương trình bậc hai như phương trình này bằng cách bù bình phương. Để thực hiện bù bình phương, trước hết, phương trình phải có dạng x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Trừ 21 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Trừ 21 cho chính nó ta có 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Chia cả hai vế cho 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Việc chia cho 24 sẽ làm mất phép nhân với 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Rút gọn phân số \frac{-21}{24} thành số hạng nhỏ nhất bằng cách tách thừa số và giản ước 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Chia -\frac{65}{24}, hệ số của số hạng x, cho 2 để có kết quả -\frac{65}{48}. Sau đó, cộng bình phương của -\frac{65}{48} vào cả hai vế của phương trình. Bước này làm cho vế trái của phương trình thành số chính phương.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Bình phương -\frac{65}{48} bằng cách bình phương cả tử số và mẫu số của phân số.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Cộng -\frac{7}{8} với \frac{4225}{2304} bằng cách tìm một mẫu số chung, rồi cộng các tử số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Phân tích x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304} số. Nói chung, khi x^{2}+bx+c là hình vuông hoàn hảo, nó luôn có thể được phân tích thành thừa số \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Rút gọn.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Cộng \frac{65}{48} vào cả hai vế của phương trình.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$