Giải 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Tìm x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ 6 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Bình phương 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Khai triển \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Tính 11 mũ 2 và ta có 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x^{2}-5x} mũ 2 và ta có x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 121 với x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Trừ 121x^{2} khỏi cả hai vế.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Kết hợp 76x^{2} và -121x^{2} để có được -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Thêm 605x vào cả hai vế.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Kết hợp 120x và 605x để có được 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi 36 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 4 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=-4$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 cho x+4 ta có 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi 9 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 4 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=9$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 cho x-9 ta có 4x^{2}-20x-1. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 4 cho a, -20 cho b và -1 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Giải phương trình 4x^{2}-20x-1=0 khi ± là cộng và khi ± là trừ.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Liệt kê tất cả đáp án tìm được.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Thay x bằng -4 trong phương trình 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Rút gọn. Giá trị x=-4 thỏa mãn phương trình.

$$72=72$$

Thay x bằng 9 trong phương trình 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Rút gọn. Giá trị x=9 thỏa mãn phương trình.

$$72=72$$

Thay x bằng \frac{5-\sqrt{26}}{2} trong phương trình 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Rút gọn. Giá trị x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} không thỏa mãn phương trình.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Thay x bằng \frac{\sqrt{26}+5}{2} trong phương trình 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Rút gọn. Giá trị x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} không thỏa mãn phương trình.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$