Giải 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Tìm x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$2x+y=1$$

Trừ y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2x=-y+1$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Nhân \frac{1}{2} với -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Thế \frac{-y+1}{2} vào x trong phương trình còn lại, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Cộng -\frac{y}{2} vào -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Trừ \frac{1}{2} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Chia cả hai vế của phương trình cho -\frac{3}{2}, điều này tương tự như khi nhân cả hai vế với nghịch đảo của phân số đó.

$$y=3$$

Thế 3 vào y trong x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Nhân -\frac{1}{2} với 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Cộng \frac{1}{2} với -\frac{3}{2} bằng cách tìm một mẫu số chung, rồi cộng các tử số. Sau đó, rút gọn phân số đó thành số hạng nhỏ nhất, nếu có thể.

$$x=-1$$

Hệ đã được giải.

$$x=-1,y=3$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó có thể viết lại phương trình ma trận dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=-1,y=3$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Để cân bằng 2x và x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 1 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Rút gọn.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Trừ 2x-2y=-8 khỏi 2x+y=1 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Cộng 2x vào -2x. Số hạng 2x và -2x triệt tiêu lẫn nhau, phương trình còn lại một biến duy nhất có thể giải được.

$$y+2y=1+8$$

Cộng y vào 2y.

$$3y=1+8$$

Cộng 1 vào 8.

$$3y=9$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$y=3$$

Thế 3 vào y trong x-y=-4. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x-3=-4$$

Cộng 3 vào cả hai vế của phương trình.

$$x=-1$$

Hệ đã được giải.

$$x=-1,y=3$$