Giải (x^2-6x-16)*sqrt{x-3}=0

$$( x ^ { 2 } - 6 x - 16 ) \cdot \sqrt { x - 3 } = 0$$

Tìm x

$$x=3$$

$$x=8$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng tính chất phân phối để nhân x^{2}-6x-16 với \sqrt{x-3}.

$$x^{2}\sqrt{x-3}-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}=0$$

Trừ -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=-\left(-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}\right)$$

Để tìm số đối của -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Khai triển \left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Để nâng lũy thừa của một số thành một lũy thừa khác, hãy nhân các số mũ với nhau. Nhân 2 với 2 để có kết quả 4.

$$x^{4}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-3} mũ 2 và ta có x-3.

$$x^{4}\left(x-3\right)=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân x^{4} với x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\sqrt{x-3}\sqrt{x-3}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Nhân \sqrt{x-3} với \sqrt{x-3} để có được \left(\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-3} mũ 2 và ta có x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(x-3\right)+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 36x^{2} với x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-3} mũ 2 và ta có x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(x-3\right)+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 192x với x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kết hợp -108x^{2} và 192x^{2} để có được 84x^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-3} mũ 2 và ta có x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(x-3\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 256 với x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256x-768$$

Kết hợp -576x và 256x để có được -320x.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-320x-768$$

Trừ 36x^{3} khỏi cả hai vế.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}=84x^{2}-320x-768$$

Trừ 84x^{2} khỏi cả hai vế.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}=-320x-768$$

Thêm 320x vào cả hai vế.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x=-768$$

Thêm 768 vào cả hai vế.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi 768 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 1 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±768,±384,±256,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=-2$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768 cho x+2 ta có x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi 384 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 1 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±384,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=3$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384 cho x-3 ta có x^{3}-2x^{2}-32x-128. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$x^{3}-2x^{2}-32x-128=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi -128 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 1 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=8$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia x^{3}-2x^{2}-32x-128 cho x-8 ta có x^{2}+6x+16. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$x^{2}+6x+16=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 1 cho a, 6 cho b và 16 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-28}}{2}$$

Do không thể xác định căn bậc hai của số âm trong trường số thực nên không có nghiệm nào.

$$x\in \emptyset$$

Liệt kê tất cả đáp án tìm được.

$$x=-2 x=3 x=8$$

Thay x bằng -2 trong phương trình \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0. Biểu thức \sqrt{-2-3} là không xác định vì biểu thức dưới dấu căn không thể âm.

$$\left(\left(-2\right)^{2}-6\left(-2\right)-16\right)\sqrt{-2-3}=0$$

Thay x bằng 3 trong phương trình \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0.

$$\left(3^{2}-6\times 3-16\right)\sqrt{3-3}=0$$

Rút gọn. Giá trị x=3 thỏa mãn phương trình.

$$0=0$$

Thay x bằng 8 trong phương trình \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0.

$$\left(8^{2}-6\times 8-16\right)\sqrt{8-3}=0$$

Rút gọn. Giá trị x=8 thỏa mãn phương trình.

$$0=0$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của \sqrt{x-3}x^{2}=6\sqrt{x-3}x+16\sqrt{x-3}.

$$x=3 x=8$$

Tìm x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=8$$

$$x=3$$