Giải (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Tìm x

$$x=8$$

$$x=15$$

Các bước sử dụng phương pháp phân tích thành thừa số bằng cách nhóm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kết hợp x^{2} và x^{2} để có được 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Tính 17 mũ 2 và ta có 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Trừ 289 khỏi cả hai vế.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Lấy 529 trừ 289 để có được 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Sắp xếp lại đa thức để đưa về dạng chuẩn. Sắp xếp các số hạng theo thứ tự bậc từ cao nhất đến thấp nhất.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là x^{2}+ax+bx+120. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -23.

$$a=-15 b=-8$$

Viết lại x^{2}-23x+120 dưới dạng \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Phân tích x trong đầu tiên và -8 trong nhóm thứ hai.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Phân tích số hạng chung x-15 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x-15=0 và x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Các bước Sử dụng Công thức Bậc hai

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kết hợp x^{2} và x^{2} để có được 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Tính 17 mũ 2 và ta có 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Trừ 289 khỏi cả hai vế.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Lấy 529 trừ 289 để có được 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Có thể giải tất cả các phương trình dạng ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Công thức bậc hai cho ra hai nghiệm, một nghiệm khi ± mang dấu cộng và một nghiệm khi mang dấu trừ.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế 2 vào a, -46 vào b và 240 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Bình phương -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Nhân -4 với 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Nhân -8 với 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Cộng 2116 vào -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Lấy căn bậc hai của 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Số đối của số -46 là 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Nhân 2 với 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{46±14}{4} khi ± là số dương. Cộng 46 vào 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Chia 60 cho 4.

$$x=15$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{46±14}{4} khi ± là số âm. Trừ 14 khỏi 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Chia 32 cho 4.

$$x=8$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$x=15 x=8$$

Các bước để Bù Bình phương

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kết hợp x^{2} và x^{2} để có được 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Tính 17 mũ 2 và ta có 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Trừ 529 khỏi cả hai vế.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Lấy 289 trừ 529 để có được -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Có thể giải phương trình bậc hai như phương trình này bằng cách bù bình phương. Để thực hiện bù bình phương, trước hết, phương trình phải có dạng x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Việc chia cho 2 sẽ làm mất phép nhân với 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Chia -46 cho 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Chia -240 cho 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Chia -23, hệ số của số hạng x, cho 2 để có kết quả -\frac{23}{2}. Sau đó, cộng bình phương của -\frac{23}{2} vào cả hai vế của phương trình. Bước này làm cho vế trái của phương trình thành số chính phương.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Bình phương -\frac{23}{2} bằng cách bình phương cả tử số và mẫu số của phân số.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Cộng -120 vào \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Phân tích x^{2}-23x+\frac{529}{4} số. Nói chung, khi x^{2}+bx+c là hình vuông hoàn hảo, nó luôn có thể được phân tích thành thừa số \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Rút gọn.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Cộng \frac{23}{2} vào cả hai vế của phương trình.

$$x=15 x=8$$