Giải (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Tìm x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Các bước tìm nghiệm

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Để tìm số đối của 9x^{2}-12x+4, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Kết hợp -9x^{2} và -40x^{2} để có được -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Thêm 205 vào cả hai vế.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Cộng -4 với 205 để có được 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân -5x với 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân -35x+15x^{2} với 7+3x và kết hợp các số hạng tương đương.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kết hợp 16x và -245x để có được -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kết hợp 4x^{2} và -49x^{2} để có được -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Kết hợp -229x và 12x để có được -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Cộng 16 với 201 để có được 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Sắp xếp lại phương trình để đưa về dạng chuẩn. Sắp xếp các số hạng theo thứ tự bậc từ cao nhất đến thấp nhất.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Theo Định lý nghiệm hữu tỉ, mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức đều có dạng \frac{p}{q}, trong đó số hạng không đổi 217 chia hết cho p và hệ số của số hạng cao nhất 45 chia hết cho q. Liệt kê tất cả các phần tử \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Tìm một nghiệm như vậy bằng cách thử tất cả giá trị số nguyên, bắt đầu từ giá trị nhỏ nhất theo giá trị tuyệt đối. Nếu không tìm thấy nghiệm số nguyên, hãy thử phân số.

$$x=1$$

Theo Định lý thừa số, x-k là thừa số của đa thức với mỗi nghiệm k. Chia 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 cho x-1 ta có 45x^{2}-217. Giải phương trình khi kết quả bằng 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 45 cho a, 0 cho b và -217 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Giải phương trình 45x^{2}-217=0 khi ± là cộng và khi ± là trừ.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Liệt kê tất cả đáp án tìm được.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$