Giải x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Tìm x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Các bước Sử dụng Công thức Bậc hai

Để giải bất đẳng thức, hãy phân tích vế trái thành thừa số. Có thể phân tích đa thức bậc hai thành thừa số bằng phép biến đổi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), trong đó x_{1} và x_{2} là nghiệm của phương trình bậc hai ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 1 cho a, -1 cho b và -1 cho c trong công thức bậc hai.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Thực hiện phép tính.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Giải phương trình x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} khi ± là cộng và khi ± là trừ.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Viết lại bất đẳng thức bằng cách sử dụng các nghiệm thu được.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Để tích là số dương, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} và x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} phải cùng là số âm hoặc cùng là số dương. Xét trường hợp x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} và x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} cùng là số âm.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Nghiệm thỏa mãn cả hai bất đẳng thức là x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Xét trường hợp khi x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} và x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} cùng dương.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Nghiệm thỏa mãn cả hai bất đẳng thức là x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Nghiệm cuối cùng là kết hợp của các nghiệm thu được.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$