Giải {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Tính giá trị

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Các bước tìm nghiệm

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} bằng cách nhân tử số và mẫu số với \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Xét \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Có thể biến đổi phép nhân thành hiệu các bình phương bằng cách sử dụng quy tắc: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Bình phương \sqrt{3}. Bình phương 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Lấy 3 trừ 1 để có được 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Nhân \sqrt{3}+1 với \sqrt{3}+1 để có được \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Cộng 3 với 1 để có được 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Chia từng số hạng trong 4+2\sqrt{3} cho 2, ta có 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Cộng 4 với 3 để có được 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Khai triển

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Các bước tìm nghiệm

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} bằng cách nhân tử số và mẫu số với \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Xét \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Có thể biến đổi phép nhân thành hiệu các bình phương bằng cách sử dụng quy tắc: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Bình phương \sqrt{3}. Bình phương 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Lấy 3 trừ 1 để có được 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Nhân \sqrt{3}+1 với \sqrt{3}+1 để có được \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Cộng 3 với 1 để có được 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Chia từng số hạng trong 4+2\sqrt{3} cho 2, ta có 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Cộng 4 với 3 để có được 7.

$$7+4\sqrt{3}$$