Giải sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Tìm y

$$y=6$$

$$y=2$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ -\sqrt{y-2} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{4y+1} mũ 2 và ta có 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{y-2} mũ 2 và ta có y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Lấy 9 trừ 2 để có được 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Trừ 7+y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Để tìm số đối của 7+y, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Lấy 1 trừ 7 để có được -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Kết hợp 4y và -y để có được 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Khai triển \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Tính 6 mũ 2 và ta có 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{y-2} mũ 2 và ta có y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 36 với y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Trừ 36y khỏi cả hai vế.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Kết hợp -36y và -36y để có được -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Thêm 72 vào cả hai vế.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Cộng 36 với 72 để có được 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Chia cả hai vế cho 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là y^{2}+ay+by+12. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -8.

$$a=-6 b=-2$$

Viết lại y^{2}-8y+12 dưới dạng \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Phân tích y trong đầu tiên và -2 trong nhóm thứ hai.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Phân tích số hạng chung y-6 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết y-6=0 và y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Thay y bằng 6 trong phương trình \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Rút gọn. Giá trị y=6 thỏa mãn phương trình.

$$3=3$$

Thay y bằng 2 trong phương trình \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Rút gọn. Giá trị y=2 thỏa mãn phương trình.

$$3=3$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$