Giải sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Tìm x

$$x=14$$

$$x=6$$

Các bước tìm nghiệm

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x-3} mũ 2 và ta có 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-5} mũ 2 và ta có x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Lấy 4 trừ 5 để có được -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Trừ -1+x khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Để tìm số đối của -1+x, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Cộng -3 với 1 để có được -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Kết hợp 2x và -x để có được x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Khai triển \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Tính 4 mũ 2 và ta có 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-5} mũ 2 và ta có x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 16 với x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Trừ 16x khỏi cả hai vế.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Kết hợp -4x và -16x để có được -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Thêm 80 vào cả hai vế.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Cộng 4 với 80 để có được 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Để giải phương trình, phân tích x^{2}-20x+84 thành thừa số bằng công thức x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-20 ab=84$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -20.

$$a=-14 b=-6$$

Viết lại biểu thức đã được phân tích thành thừa số \left(x+a\right)\left(x+b\right) sử dụng các giá trị tìm được.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x-14=0 và x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Thay x bằng 14 trong phương trình \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Rút gọn. Giá trị x=14 thỏa mãn phương trình.

$$5=5$$

Thay x bằng 6 trong phương trình \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Rút gọn. Giá trị x=6 thỏa mãn phương trình.

$$3=3$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$