Giải sqrt{15}div(1/sqrt{3}+1/sqrt{5})

$$\sqrt{ 15 } \div ( \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 } } )$$

Tính giá trị

$$\frac{15\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}\approx 3,780128774$$

Các bước tìm nghiệm ngắn

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{1}{\sqrt{3}} bằng cách nhân tử số và mẫu số với \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{1}{\sqrt{5}} bằng cách nhân tử số và mẫu số với \sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}$$

Bình phương của \sqrt{5} là 5.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{5}}$$

Để cộng hoặc trừ các biểu thức, khai triển các biểu thức để làm cho các mẫu số giống nhau. Bội số chung nhỏ nhất của 3 và 5 là 15. Nhân \frac{\sqrt{3}}{3} với \frac{5}{5}. Nhân \frac{\sqrt{5}}{5} với \frac{3}{3}.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{5\sqrt{3}}{15}+\frac{3\sqrt{5}}{15}}$$

Do \frac{5\sqrt{3}}{15} và \frac{3\sqrt{5}}{15} có cùng mẫu số, hãy cộng chúng bằng cách cộng các tử số với nhau.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15}}$$

Chia \sqrt{15} cho \frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15} bằng cách nhân \sqrt{15} với nghịch đảo của \frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$$

Hữu tỷ hóa mẫu số của \frac{\sqrt{15}\times 15}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}} bằng cách nhân tử số và mẫu số với 5\sqrt{3}-3\sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}$$

Xét \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right). Có thể biến đổi phép nhân thành hiệu các bình phương bằng cách sử dụng quy tắc: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Khai triển \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Tính 5 mũ 2 và ta có 25.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{25\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Bình phương của \sqrt{3} là 3.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{25\times 3-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Nhân 25 với 3 để có được 75.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Khai triển \left(3\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Tính 3 mũ 2 và ta có 9.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-9\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Bình phương của \sqrt{5} là 5.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-9\times 5}$$

Nhân 9 với 5 để có được 45.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-45}$$

Lấy 75 trừ 45 để có được 30.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{30}$$

Chia \sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right) cho 30 ta có \sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right).

$$\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân \sqrt{15}\times \frac{1}{2} với 5\sqrt{3}-3\sqrt{5}.

$$\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{3}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Phân tích thành thừa số 15=3\times 5. Viết lại căn bậc hai của sản phẩm \sqrt{3\times 5} như là tích của gốc vuông \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\sqrt{3}\sqrt{5}\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{3}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Nhân \sqrt{3} với \sqrt{3} để có được 3.

$$3\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Nhân 3 với \frac{1}{2} để có được \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}\times 5\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Thể hiện \frac{3}{2}\times 5 dưới dạng phân số đơn.

$$\frac{3\times 5}{2}\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Nhân 3 với 5 để có được 15.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Phân tích thành thừa số 15=5\times 3. Viết lại căn bậc hai của sản phẩm \sqrt{5\times 3} như là tích của gốc vuông \sqrt{5}\sqrt{3}.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\sqrt{5}\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

Nhân \sqrt{5} với \sqrt{5} để có được 5.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+5\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{3}$$

Nhân 5 với \frac{1}{2} để có được \frac{5}{2}.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{5}{2}\left(-3\right)\sqrt{3}$$

Thể hiện \frac{5}{2}\left(-3\right) dưới dạng phân số đơn.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{5\left(-3\right)}{2}\sqrt{3}$$

Nhân 5 với -3 để có được -15.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{-15}{2}\sqrt{3}$$

Có thể viết lại phân số \frac{-15}{2} dưới dạng -\frac{15}{2} bằng cách tách dấu âm.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}-\frac{15}{2}\sqrt{3}$$