Giải sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Tìm x

$$x=3$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ \sqrt{2x-2} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-3} mũ 2 và ta có x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x-2} mũ 2 và ta có 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Lấy 4 trừ 2 để có được 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Trừ 2+2x khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Để tìm số đối của 2+2x, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Lấy -3 trừ 2 để có được -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Kết hợp x và -2x để có được -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Khai triển \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Tính -4 mũ 2 và ta có 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x-2} mũ 2 và ta có 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 16 với 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Trừ 32x khỏi cả hai vế.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Kết hợp 10x và -32x để có được -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Thêm 32 vào cả hai vế.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Cộng 25 với 32 để có được 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Để giải phương trình, phân tích x^{2}-22x+57 thành thừa số bằng công thức x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-22 ab=57$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -22.

$$a=-19 b=-3$$

Viết lại biểu thức đã được phân tích thành thừa số \left(x+a\right)\left(x+b\right) sử dụng các giá trị tìm được.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x-19=0 và x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Thay x bằng 19 trong phương trình \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Rút gọn. Giá trị x=19 không thỏa mãn phương trình.

$$10=2$$

Thay x bằng 3 trong phương trình \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Rút gọn. Giá trị x=3 thỏa mãn phương trình.

$$2=2$$

Phương trình \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 có một nghiệm duy nhất.

$$x=3$$