Giải sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Tìm x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Các bước tìm nghiệm

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x^{2}-1} mũ 2 và ta có x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x+1} mũ 2 và ta có 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Trừ 2x khỏi cả hai vế.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Trừ 1 khỏi cả hai vế.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Lấy -1 trừ 1 để có được -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Có thể giải tất cả các phương trình dạng ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Công thức bậc hai cho ra hai nghiệm, một nghiệm khi ± mang dấu cộng và một nghiệm khi mang dấu trừ.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế 1 vào a, -2 vào b và -2 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Bình phương -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Nhân -4 với -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Cộng 4 vào 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Lấy căn bậc hai của 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Số đối của số -2 là 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} khi ± là số dương. Cộng 2 vào 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Chia 2+2\sqrt{3} cho 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} khi ± là số âm. Trừ 2\sqrt{3} khỏi 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Chia 2-2\sqrt{3} cho 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Thay x bằng \sqrt{3}+1 trong phương trình \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Rút gọn. Giá trị x=\sqrt{3}+1 thỏa mãn phương trình.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Thay x bằng 1-\sqrt{3} trong phương trình \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Rút gọn. Giá trị x=1-\sqrt{3} thỏa mãn phương trình.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Tìm x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Các bước tìm nghiệm

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x^{2}-1} mũ 2 và ta có x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x+1} mũ 2 và ta có 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Trừ 2x khỏi cả hai vế.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Trừ 1 khỏi cả hai vế.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Lấy -1 trừ 1 để có được -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Có thể giải tất cả các phương trình dạng ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Công thức bậc hai cho ra hai nghiệm, một nghiệm khi ± mang dấu cộng và một nghiệm khi mang dấu trừ.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế 1 vào a, -2 vào b và -2 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Bình phương -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Nhân -4 với -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Cộng 4 vào 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Lấy căn bậc hai của 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Số đối của số -2 là 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} khi ± là số dương. Cộng 2 vào 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Chia 2+2\sqrt{3} cho 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} khi ± là số âm. Trừ 2\sqrt{3} khỏi 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Chia 2-2\sqrt{3} cho 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Thay x bằng \sqrt{3}+1 trong phương trình \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Rút gọn. Giá trị x=\sqrt{3}+1 thỏa mãn phương trình.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Thay x bằng 1-\sqrt{3} trong phương trình \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Biểu thức \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} là không xác định vì biểu thức dưới dấu căn không thể âm.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Phương trình \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} có một nghiệm duy nhất.

$$x=\sqrt{3}+1$$