Giải sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Tìm x

$$x=-2$$

Các bước tìm nghiệm

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+3} mũ 2 và ta có x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+6} mũ 2 và ta có x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kết hợp x và x để có được 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Cộng 3 với 6 để có được 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+11} mũ 2 và ta có x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Trừ 2x+9 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Để tìm số đối của 2x+9, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Kết hợp x và -2x để có được -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Lấy 11 trừ 9 để có được 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Khai triển \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Tính 2 mũ 2 và ta có 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+3} mũ 2 và ta có x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+6} mũ 2 và ta có x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 4 với x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Áp dụng tính chất phân phối bằng cách nhân mỗi số hạng của 4x+12 với một số hạng của x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kết hợp 24x và 12x để có được 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Trừ x^{2} khỏi cả hai vế.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Kết hợp 4x^{2} và -x^{2} để có được 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Thêm 4x vào cả hai vế.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Kết hợp 36x và 4x để có được 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Trừ 4 khỏi cả hai vế.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Lấy 72 trừ 4 để có được 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là 3x^{2}+ax+bx+68. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là số dương, a và b đều là số dương. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng 40.

$$a=6 b=34$$

Viết lại 3x^{2}+40x+68 dưới dạng \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Phân tích 3x trong đầu tiên và 34 trong nhóm thứ hai.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Phân tích số hạng chung x+2 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x+2=0 và 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Thay x bằng -\frac{34}{3} trong phương trình \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Biểu thức \sqrt{-\frac{34}{3}+3} là không xác định vì biểu thức dưới dấu căn không thể âm.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Thay x bằng -2 trong phương trình \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Rút gọn. Giá trị x=-2 thỏa mãn phương trình.

$$3=3$$

Phương trình \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} có một nghiệm duy nhất.

$$x=-2$$