Giải sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Tìm x

$$x=2$$

Các bước tìm nghiệm

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{5x-1} mũ 2 và ta có 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{3x-2} mũ 2 và ta có 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kết hợp 5x và 3x để có được 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Lấy -1 trừ 2 để có được -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-1} mũ 2 và ta có x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Trừ 8x-3 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Để tìm số đối của 8x-3, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Kết hợp x và -8x để có được -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Cộng -1 với 3 để có được 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Khai triển \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Tính -2 mũ 2 và ta có 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Tính \sqrt{5x-1} mũ 2 và ta có 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Tính \sqrt{3x-2} mũ 2 và ta có 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 4 với 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Áp dụng tính chất phân phối bằng cách nhân mỗi số hạng của 20x-4 với một số hạng của 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kết hợp -40x và -12x để có được -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Trừ 49x^{2} khỏi cả hai vế.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Kết hợp 60x^{2} và -49x^{2} để có được 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Thêm 28x vào cả hai vế.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Kết hợp -52x và 28x để có được -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Trừ 4 khỏi cả hai vế.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Lấy 8 trừ 4 để có được 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là 11x^{2}+ax+bx+4. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -24.

$$a=-22 b=-2$$

Viết lại 11x^{2}-24x+4 dưới dạng \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Phân tích 11x trong đầu tiên và -2 trong nhóm thứ hai.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Phân tích số hạng chung x-2 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x-2=0 và 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Thay x bằng \frac{2}{11} trong phương trình \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Biểu thức \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} là không xác định vì biểu thức dưới dấu căn không thể âm.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Thay x bằng 2 trong phương trình \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Rút gọn. Giá trị x=2 thỏa mãn phương trình.

$$1=1$$

Phương trình \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} có một nghiệm duy nhất.

$$x=2$$