Giải sqrt{3x+4}-sqrt{x-4}=2sqrt{x}

$$\sqrt { 3 x + 4 } - \sqrt { x - 4 } = 2 \sqrt { x }$$

Tìm x

$$x=4$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ -\sqrt{x-4} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{3x+4}=2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{3x+4}\right)^{2}=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{3x+4} mũ 2 và ta có 3x+4.

$$3x+4=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$3x+4=4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x} mũ 2 và ta có x.

$$3x+4=4x+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-4} mũ 2 và ta có x-4.

$$3x+4=4x+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}+x-4$$

Kết hợp 4x và x để có được 5x.

$$3x+4=5x+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}-4$$

Trừ 5x-4 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$3x+4-\left(5x-4\right)=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Để tìm số đối của 5x-4, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$3x+4-5x+4=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Kết hợp 3x và -5x để có được -2x.

$$-2x+4+4=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Cộng 4 với 4 để có được 8.

$$-2x+8=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(-2x+8\right)^{2}=\left(4\sqrt{x}\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(-2x+8\right)^{2}.

$$4x^{2}-32x+64=\left(4\sqrt{x}\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Khai triển \left(4\sqrt{x}\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$4x^{2}-32x+64=4^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Tính 4 mũ 2 và ta có 16.

$$4x^{2}-32x+64=16\left(\sqrt{x}\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x} mũ 2 và ta có x.

$$4x^{2}-32x+64=16x\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-4} mũ 2 và ta có x-4.

$$4x^{2}-32x+64=16x\left(x-4\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 16x với x-4.

$$4x^{2}-32x+64=16x^{2}-64x$$

Trừ 16x^{2} khỏi cả hai vế.

$$4x^{2}-32x+64-16x^{2}=-64x$$

Kết hợp 4x^{2} và -16x^{2} để có được -12x^{2}.

$$-12x^{2}-32x+64=-64x$$

Thêm 64x vào cả hai vế.

$$-12x^{2}-32x+64+64x=0$$

Kết hợp -32x và 64x để có được 32x.

$$-12x^{2}+32x+64=0$$

Chia cả hai vế cho 4.

$$-3x^{2}+8x+16=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là -3x^{2}+ax+bx+16. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=8 ab=-3\times 16=-48$$

Vì ab là âm, a và b có dấu đối diện. Vì a+b là số dương, số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn số âm. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng 8.

$$a=12 b=-4$$

Viết lại -3x^{2}+8x+16 dưới dạng \left(-3x^{2}+12x\right)+\left(-4x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+12x\right)+\left(-4x+16\right)$$

Phân tích 3x trong đầu tiên và 4 trong nhóm thứ hai.

$$3x\left(-x+4\right)+4\left(-x+4\right)$$

Phân tích số hạng chung -x+4 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(-x+4\right)\left(3x+4\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết -x+4=0 và 3x+4=0.

$$x=4 x=-\frac{4}{3}$$

Thay x bằng -\frac{4}{3} trong phương trình \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}. Biểu thức \sqrt{-\frac{4}{3}-4} là không xác định vì biểu thức dưới dấu căn không thể âm.

$$\sqrt{3\left(-\frac{4}{3}\right)+4}-\sqrt{-\frac{4}{3}-4}=2\sqrt{-\frac{4}{3}}$$

Thay x bằng 4 trong phương trình \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}.

$$\sqrt{3\times 4+4}-\sqrt{4-4}=2\sqrt{4}$$

Rút gọn. Giá trị x=4 thỏa mãn phương trình.

$$4=4$$

Phương trình \sqrt{3x+4}=\sqrt{x-4}+2\sqrt{x} có một nghiệm duy nhất.

$$x=4$$