Giải sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Tìm x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ -\sqrt{15+x^{2}} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{25-x^{2}} mũ 2 và ta có 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{15+x^{2}} mũ 2 và ta có 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Cộng 16 với 15 để có được 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Trừ 31+x^{2} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Để tìm số đối của 31+x^{2}, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Lấy 25 trừ 31 để có được -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kết hợp -x^{2} và -x^{2} để có được -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Để nâng lũy thừa của một số thành một lũy thừa khác, hãy nhân các số mũ với nhau. Nhân 2 với 2 để có kết quả 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Khai triển \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Tính 8 mũ 2 và ta có 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{15+x^{2}} mũ 2 và ta có 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 64 với 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Trừ 960 khỏi cả hai vế.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Lấy 36 trừ 960 để có được -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Trừ 64x^{2} khỏi cả hai vế.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kết hợp 24x^{2} và -64x^{2} để có được -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Thay x^{2} vào t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Có thể giải mọi phương trình của biểu mẫu ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Thay 4 cho a, -40 cho b và -924 cho c trong công thức bậc hai.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Thực hiện phép tính.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Giải phương trình t=\frac{40±128}{8} khi ± là cộng và khi ± là trừ.

$$t=21 t=-11$$

Vì x=t^{2}, có thể tìm đáp án bằng cách xác định x=±\sqrt{t} với từng t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Thay x bằng -\sqrt{21} trong phương trình \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Rút gọn. Giá trị x=-\sqrt{21} không thỏa mãn phương trình vì biểu thức bên trái và bên phải trái dấu.

$$-4=4$$

Thay x bằng \sqrt{21} trong phương trình \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Rút gọn. Giá trị x=\sqrt{21} không thỏa mãn phương trình vì biểu thức bên trái và bên phải trái dấu.

$$-4=4$$

Thay x bằng -\sqrt{11}i trong phương trình \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Rút gọn. Giá trị x=-\sqrt{11}i thỏa mãn phương trình.

$$4=4$$

Thay x bằng \sqrt{11}i trong phương trình \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Rút gọn. Giá trị x=\sqrt{11}i thỏa mãn phương trình.

$$4=4$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$