Giải {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Tìm x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình thứ hai. Trừ 3y khỏi cả hai vế.

$$x+36-3y=0$$

Trừ 36 khỏi cả hai vế. Số không trừ đi bất kỳ giá trị nào cũng bằng số âm của giá trị đó.

$$x-3y=-36$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$x+y=90$$

Trừ y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x=-y+90$$

Thế -y+90 vào x trong phương trình còn lại, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Cộng -y vào -3y.

$$-4y+90=-36$$

Trừ 90 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-4y=-126$$

Chia cả hai vế cho -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Thế \frac{63}{2} vào y trong x=-y+90. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Cộng 90 vào -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình thứ hai. Trừ 3y khỏi cả hai vế.

$$x+36-3y=0$$

Trừ 36 khỏi cả hai vế. Số không trừ đi bất kỳ giá trị nào cũng bằng số âm của giá trị đó.

$$x-3y=-36$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình thứ hai. Trừ 3y khỏi cả hai vế.

$$x+36-3y=0$$

Trừ 36 khỏi cả hai vế. Số không trừ đi bất kỳ giá trị nào cũng bằng số âm của giá trị đó.

$$x-3y=-36$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Trừ x-3y=-36 khỏi x+y=90 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Cộng x vào -x. Các số hạng x và -x giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$y+3y=90+36$$

Cộng y vào 3y.

$$4y=90+36$$

Cộng 90 vào 36.

$$4y=126$$

Chia cả hai vế cho 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Thế \frac{63}{2} vào y trong x-3y=-36. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Nhân -3 với \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Cộng \frac{189}{2} vào cả hai vế của phương trình.

$$x=\frac{117}{2}$$

Hệ đã được giải.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$