Giải {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Tìm x, y

$$x=400$$

$$y=20$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Đổi vế để tất cả các số hạng biến thiên đều ở bên trái.

$$x+20y=800$$

Xem xét phương trình thứ hai. Đổi vế để tất cả các số hạng biến thiên đều ở bên trái.

$$x+15y=700$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$x+20y=800$$

Trừ 20y khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x=-20y+800$$

Thế -20y+800 vào x trong phương trình còn lại, x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Cộng -20y vào 15y.

$$-5y+800=700$$

Trừ 800 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-5y=-100$$

Chia cả hai vế cho -5.

$$y=20$$

Thế 20 vào y trong x=-20y+800. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=-20\times 20+800$$

Nhân -20 với 20.

$$x=-400+800$$

Cộng 800 vào -400.

$$x=400$$

Hệ đã được giải.

$$x=400,y=20$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Đổi vế để tất cả các số hạng biến thiên đều ở bên trái.

$$x+20y=800$$

Xem xét phương trình thứ hai. Đổi vế để tất cả các số hạng biến thiên đều ở bên trái.

$$x+15y=700$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=400,y=20$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Đổi vế để tất cả các số hạng biến thiên đều ở bên trái.

$$x+20y=800$$

Xem xét phương trình thứ hai. Đổi vế để tất cả các số hạng biến thiên đều ở bên trái.

$$x+15y=700$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Trừ x+15y=700 khỏi x+20y=800 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Cộng x vào -x. Các số hạng x và -x giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$20y-15y=800-700$$

Cộng 20y vào -15y.

$$5y=800-700$$

Cộng 800 vào -700.

$$5y=100$$

Chia cả hai vế cho 5.

$$y=20$$

Thế 20 vào y trong x+15y=700. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x+15\times 20=700$$

Nhân 15 với 20.

$$x+300=700$$

Trừ 300 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x=400$$

Hệ đã được giải.

$$x=400,y=20$$