Giải {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Tìm x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x_{1} bằng cách đặt riêng x_{1} sang vế trái của dấu bằng.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Trừ 3x_{2} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Nhân \frac{1}{2} với -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Thế \frac{-3x_{2}+7}{2} vào x_{1} trong phương trình còn lại, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Nhân 4 với \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Cộng -6x_{2} vào -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Trừ 14 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-10x_{2}=-20$$

Chia cả hai vế cho -10.

$$x_{2}=2$$

Thế 2 vào x_{2} trong x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x_{1} trực tiếp.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Nhân -\frac{3}{2} với 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Cộng \frac{7}{2} vào -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Hệ đã được giải.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x_{1} và x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Để cân bằng 2x_{1} và 4x_{1}, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 4 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Rút gọn.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Trừ 8x_{1}-8x_{2}=-12 khỏi 8x_{1}+12x_{2}=28 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Cộng 8x_{1} vào -8x_{1}. Các số hạng 8x_{1} và -8x_{1} giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Cộng 12x_{2} vào 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Cộng 28 vào 12.

$$20x_{2}=40$$

Chia cả hai vế cho 20.

$$x_{2}=2$$

Thế 2 vào x_{2} trong 4x_{1}-4x_{2}=-6. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x_{1} trực tiếp.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Nhân -4 với 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Cộng 8 vào cả hai vế của phương trình.

$$4x_{1}=2$$

Chia cả hai vế cho 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Hệ đã được giải.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$