Giải {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Tìm x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 6, bội số chung nhỏ nhất của 3,2.

$$2x-3y=48$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 15, bội số chung nhỏ nhất của 5,3.

$$3x+5y=15$$

Để giải cặp phương trình bằng phép thế, trước tiên, hãy giải một trong các phương trình để tìm một biến. Sau đó, thế kết quả vào biến đó trong phương trình còn lại.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Chọn một trong các phương trình và giải phương trình tìm x bằng cách đặt riêng x sang vế trái của dấu bằng.

$$2x-3y=48$$

Cộng 3y vào cả hai vế của phương trình.

$$2x=3y+48$$

Chia cả hai vế cho 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Nhân \frac{1}{2} với 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Thế \frac{3y}{2}+24 vào x trong phương trình còn lại, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Nhân 3 với \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Cộng \frac{9y}{2} vào 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Trừ 72 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Chia cả hai vế của phương trình cho \frac{19}{2}, điều này tương tự như khi nhân cả hai vế với nghịch đảo của phân số đó.

$$y=-6$$

Thế -6 vào y trong x=\frac{3}{2}y+24. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Nhân \frac{3}{2} với -6.

$$x=-9+24$$

Cộng 24 vào -9.

$$x=15$$

Hệ đã được giải.

$$x=15,y=-6$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 6, bội số chung nhỏ nhất của 3,2.

$$2x-3y=48$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 15, bội số chung nhỏ nhất của 5,3.

$$3x+5y=15$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận x và y.

$$x=15,y=-6$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Nhân cả hai vế của phương trình với 6, bội số chung nhỏ nhất của 3,2.

$$2x-3y=48$$

Xem xét phương trình thứ hai. Nhân cả hai vế của phương trình với 15, bội số chung nhỏ nhất của 5,3.

$$3x+5y=15$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Để cân bằng 2x và 3x, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 3 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Rút gọn.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Trừ 6x+10y=30 khỏi 6x-9y=144 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Cộng 6x vào -6x. Các số hạng 6x và -6x giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$-9y-10y=144-30$$

Cộng -9y vào -10y.

$$-19y=144-30$$

Cộng 144 vào -30.

$$-19y=114$$

Chia cả hai vế cho -19.

$$y=-6$$

Thế -6 vào y trong 3x+5y=15. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm x trực tiếp.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Nhân 5 với -6.

$$3x-30=15$$

Cộng 30 vào cả hai vế của phương trình.

$$3x=45$$

Chia cả hai vế cho 3.

$$x=15$$

Hệ đã được giải.

$$x=15,y=-6$$