Giải {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Tìm k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Các bước Sử dụng Phép thế

Xem xét phương trình đầu tiên. Biến L không thể bằng 0 vì phép chia cho số không là không xác định được. Nhân cả hai vế của phương trình với L.

$$k=100L$$

Thế 100L vào k trong phương trình còn lại, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Nhân 5 với 100L.

$$500L+50L=110$$

Cộng 500L vào 50L.

$$550L=110$$

Chia cả hai vế cho 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Thế \frac{1}{5} vào L trong k=100L. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm k trực tiếp.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Nhân 100 với \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Hệ đã được giải.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Các bước Sử dụng Ma trận

Xem xét phương trình đầu tiên. Biến L không thể bằng 0 vì phép chia cho số không là không xác định được. Nhân cả hai vế của phương trình với L.

$$k=100L$$

Trừ 100L khỏi cả hai vế.

$$k-100L=0$$

Đưa các phương trình về dạng chuẩn, rồi sử dụng các ma trận để giải hệ phương trình.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Viết các phương trình dưới dạng ma trận.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Nhân vế trái của phương trình với ma trận nghịch đảo của \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Tích của một ma trận và nghịch đảo của chính nó là ma trận đơn vị.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Nhân hai ma trận ở vế trái của dấu bằng.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Đối với ma trận 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ma trận nghịch đảo là \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), do đó phương trình ma trận có thể được viết lại dưới dạng bài toán phép nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Nhân ma trận.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Thực hiện tính toán số học.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Trích các phần tử ma trận k và L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Các bước Sử dụng Phép loại trừ

Xem xét phương trình đầu tiên. Biến L không thể bằng 0 vì phép chia cho số không là không xác định được. Nhân cả hai vế của phương trình với L.

$$k=100L$$

Trừ 100L khỏi cả hai vế.

$$k-100L=0$$

Để giải bằng cách loại trừ, hệ số của một trong các biến ở cả hai phương trình phải giống nhau để giản ước biến khi lấy một phương trình trừ đi phương trình còn lại.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Để cân bằng k và 5k, nhân tất cả các số hạng tại mỗi vế của phương trình đầu tiên với 5 và tất cả các số hạng trên mỗi vế của phương trình thứ hai với 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Rút gọn.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Trừ 5k+50L=110 khỏi 5k-500L=0 bằng cách trừ các số hạng đồng dạng ở từng vế của dấu bằng.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Cộng 5k vào -5k. Các số hạng 5k và -5k giản ước, phương trình còn chỉ một biến có thể được giải.

$$-500L-50L=-110$$

Cộng -500L vào -50L.

$$-550L=-110$$

Chia cả hai vế cho -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Thế \frac{1}{5} vào L trong 5k+50L=110. Vì phương trình kết quả chỉ chứa một biến nên bạn có thể tìm k trực tiếp.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Nhân 50 với \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Trừ 10 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$5k=100$$

Chia cả hai vế cho 5.

$$k=20$$

Hệ đã được giải.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$